Matrici quadrate

Le matrici, insiemi di numeri raggruppati in righe e colonne, che hanno lo stesso numero di righe e di colonne vengono definite matrici quadrate. Queste godono di caratteristiche e proprietà aggiuntive rispetto alle matrici generiche, che vedremo qui.

La somma e il prodotto tra matrici quadrate è identica a quella delle altre matrici, con la differenza che otteniamo come risultato matrici quadrate con lo stesso numero di righe e di colonne. Ecco perché possiamo definire l’operazione di prodotto come operazione binaria interna. Pertanto, esiste l’elemento neutro del prodotto che noi chiamiamo matrice identica o matrice identità e ha questa caratteristica: lo scalare contenuto nella posizione indicata dallo stesso indice per le righe e per le colonne è 1, tutti gli altri sono 0.

Così una matrice 2×2 ha 1 nelle posizioni ent₁₁ e ent₂₂, mentre una matrice 3×3 ha 1 nelle posizioni ent₁₁, ent₂₂ e ent₃₃.

\[ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Per dimostrare che la matrice identica è l’elemento neutro del prodotto di due matrici quadrate qualsiasi basta esplicitare la formula:

\[ AI = IA = A \quad \forall A \in \mathbb{K}^{n \times n} \]\[ \text{ent}_{ij}(AI) = \sum_{z=1}^{n} \text{ent}_{iz}(A) \cdot \text{ent}_{zj}(I) = \text{ent}_{ij}(A) \]\[ \text{ent}_{ij}(IA) = \sum_{z=1}^{n} \text{ent}_{iz}(I) \cdot \text{ent}_{zj}(A) = \text{ent}_{ij}(A) \]

Tuttavia, il prodotto tra matrici non è commutativo e non sempre una matrice quadrata è invertibile rispetto al prodotto.

Per trovare le matrici che sono commutative con quella data dobbiamo creare una matrice con 4 incognite e porre la condizione che i due prodotti trovati siano uguali. Se ponendo le due soluzioni a sistema otteniamo un’unica soluzione per ciascuna incognita quella è la matrice che commuta con quella data. Ecco un esempio:

\[ X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \]\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]\[ AX = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]\[ XA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & z \end{pmatrix} \]\[ AX = XA \iff \begin{pmatrix} z & t \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & z \end{pmatrix} \iff \begin{cases} z = 0 \\ t = x \\ 0 = 0 \\ 0 = z \end{cases} \iff \begin{cases} z = 0 \\ t = x \end{cases} \] \[ \Rightarrow X = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x \end{pmatrix} \]

In questo caso qualunque matrice che abbia lo stesso elemento nelle posizioni ent₁₁ ed ent₂₂ e 0 in ent₁₂ commuterà con quella data. Facciamo una verifica:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] \[ AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]\[ BA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]\[ \Rightarrow AB = BA \]