L’inversa di una matrice esiste solo sotto opportune condizioni. In quel caso si ottiene moltiplicando il reciproco del suo determinante con la matrice aggiunta. Non tutte le matrici, infatti, sono invertibili.
La prima condizione affinché una matrice sia invertibile è che deve essere quadrata, avere lo stesso numero di righe e di colonne. Un’altra condizione è che il suo determinante deve essere diverso da 0. Il teorema vale anche al contrario, cioè se il determinante di una matrice quadrata è 0, allora è invertibile e la sua inversa si ottiene moltiplicando il reciproco del suo determinante con la matrice aggiunta.
La matrice aggiunta coincide con la trasposta della matrice dei cofattori, che si ottiene calcolando il cofattore di ogni elemento. Ripassiamo questi concetti:
Il complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata è uno scalare ottenuto dal prodotto della potenza di -1 con esponente la somma degli indici della posizione dell’elemento con il determinante della matrice dopo avere eliminato la riga e la colonna indicate dagli indici della posizione dell’elemento.
Data una matrice quadrata, si chiama matrice dei cofattori la matrice che per ogni elemento il cofattore di quella data.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \]\[ A_{\text{cof}} = \begin{pmatrix} (+1) \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ (-1) \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ (+1) \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]\[ A_{\text{cof}} = \begin{pmatrix} 24 & -5 & -4 \\ -12 & 3 & 2 \\ -2 & 15 & 4 \end{pmatrix} \]Data una matrice, chiamiamo matrice aggiunta la trasposta della sue matrice dei cofattori. Quindi data una matrice quadrata, prima otteniamo la matrice dei cofattori e poi la trasposta invertendo gli indici della posizione di ogni elemento quando sono diversi tra loro:
\[ A_{\text{Agg}} = \begin{pmatrix} 24 & -12 & -2 \\ -5 & 3 & 15 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]Dimostrazione sull’inversa della matrice
Dimostriamo qui entrambe le condizioni. Iniziamo supponendo che una matrice quadrata sia invertibile. Questo significa che esiste un’altra matrice quadrata il cui prodotto con la prima ci dà l’identità, cioè una matrice diagonale. Questo però significa anche che il determinante del loro prodotto è uguale al determinante della matrice identica che è 1. Perciò il loro determinante non può essere 0 perché qualunque numero moltiplicato per 0 non può dare 1.
A ∈ Kn,n invertibile => ∃B ∈ Kn,n: AB = I
=> det(AB) = det I
=> (det A)(det B) = 1
=> det A ≠ 0
Adesso dimostriamo il teorema inverso. Supponiamo che il determinante di una matrice quadrata sia diversa da 0. Applichiamo il teorema secondo cui il prodotto tra una matrice quadrata e la sua aggiunta è uguale al prodotto del suo determinante per la matrice identica.
det A ≠ 0 => AAagg = AaggA = (det A) I
A questo punto possiamo applicare il secondo principio di equivalenza su entrambi i prodotti e otteniamo che il prodotto del reciproco del determinante con le due matrici, indipendentemente dalla loro posizione, è uguale alla matrice identica.
=> (det A)-1AAagg = (det A)-1AaggA
Applicando le proprietà commutativa e associativa del prodotto risulta sempre che moltiplicando la matrice con il prodotto tra il reciproco del suo determinante e l’aggiunta otteniamo l’identità, l’elemento neutro.
=> A[(det A)-1Aagg] = [(det A)-1Aagg]A = I
In entrambi i casi otteniamo che la matrice è invertibile che la sua inversa è proprio uguale al prodotto tra il reciproco del determinante con la matrice aggiunta
=> A-1 = (det A)-1Aagg