La combinazione lineare è l’operazione di somma tra due o più prodotti di scalari con matrici che hanno lo stesso numero di righe e di colonne. E’ un’operazione molto importante perché semplifica certi calcoli sulle matrici e genera uno spazio vettoriale.
Le matrici sono raggruppamenti di numeri per righe e colonne. E’ possibile sommare matrici che hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e di colonne oppure moltiplicare due matrici quando il numero di colonne della prima coincide con il numero di righe della seconda. I loro elementi devono appartenere ad un campo, come quello dei numeri reali o dei complessi.
Prese due matrici dello stesso campo con lo stesso numero di righe e di colonne, definiamo la somma tra le due matrici come la somma dei loro rispettivi elementi nella medesima posizione: entij(A+B) = entij(A) + entij(B). Ecco un esempio:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \] \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+7 & 2+8 & 3+9 \\ 4+10 & 5+11 & 6+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix} \]Il prodotto tra due matrici può avvenire soltanto se il numero di colonne della seconda coincide con il numero di righe della prima. Otteniamo così un matrice che ha lo stesso numero di righe della prima e lo stesso numero di colonne della seconda.
Ciascun elemento della matrice prodotto è ottenuto dalla sommatoria dei prodotti di tutti gli elementi della stessa riga della prima matrice e i rispettivi elementi della medesima colonna della seconda matrice rispetto alla matrice prodotto.
\[ \text{ent}_{ij}(AB) \overset{\text{DEF}}{=} \sum_{r=1}^{n’} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{ent}_{rj}(B) \] \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{2 \times 3} \] \[ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 5} \] \[ \text{ent}_{21}(AB) = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} \]Possiamo moltiplicare una matrice per uno scalare, un numero qualsiasi del campo, anche non contenuto nella matrice. Presa una matrice e uno scalare, definiamo il prodotto scalare della matrice come il prodotto dello scalare per ogni elemento della matrice.
\[ kM = k \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \end{pmatrix} \]Perciò, la combinazione lineare tra due o più matrici è la somma dei loro prodotti scalari con qualsiasi elemento del campo.
\[ (K,+, \cdot) \text{ campo}, \quad K^{m} \text{ spazio vettoriale su } K \] \[ u = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n}, \quad a_{i} \in K, v_{i} \in K^{m} \] \[ u = \sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \]Combinazione lineare e sottospazi
Uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano a cui viene definita un’operazione di moltiplicazione con gli elementi di un campo, come quello dei numeri reali o dei numeri complessi, cui valgono le seguenti proprietà:
- Distributiva del prodotto di un vettore sulla somma di due scalari,
- Distributiva del prodotto di uno scalare sulla somma di due vettori
- La proprietà associativa sul prodotto di due scalari e un vettore
- Esiste l’elemento neutro, lo scalare 1 che moltiplicato con un vettore ritorna lo stesso vettore.
Dato uno spazio vettoriale, possiamo definire uno o più sottospazi vettoriali se anche loro soddisfano le stesse condizioni sul campo dello spazio vettoriale a cui appartengono. Soprattutto devono contenere il vettore neutro e presi due qualsiasi elementi del campo e due vettori del sottospazio, la loro combinazione lineare deve appartenere al sottospazio. Spesso si dice semplicemente che è un sottospazio.
Sia \((K,+,\cdot)\) un campo e \((V,+)\) un gruppo abeliano. La moltiplicazione per scalare è una funzione \[ f : K \times V \to V,\qquad (a,v) \mapsto av, \] tale che per ogni \(a,b \in K\) e \(u,v \in V\) valgono gli assiomi: \[ (a + b)v = av + bv \] \[ a(u + v) = au + av \] \[ a(bv) = (ab)v \] \[ 1v = v \]Consideriamo adesso l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori nel sottospazio chiamato anche in questo caso insieme di generatori. Questo insieme viene chiamato sottospazio generato dal sottospazio di partenza.
\[ S \subseteq K^{m}, \quad \text{sottospazio vettoriale su } K \] \[ L(S) \space \text{è l’insieme di tutte le combinazioni lineari degli elementi di S} \]Dato uno spazio vettoriale su un campo e dato un suo sottospazio non vuoto, anche l’insieme delle combinazioni lineari del sottospazio è un sottospazio dello spazio vettoriale.
Iniziamo a dimostrare che ha l’elemento neutro, il vettore 0. Dato che il sottospazio non è vuoto ha almeno un vettore. Se lo moltiplichiamo con lo scalare 0, otteniamo il vettore nullo.
Consideriamo adesso due vettori del sottospazio generato. La loro combinazione lineare è uguale alla somma di elementi del sottospazio generato essendo ciascuno la somma di prodotti scalari dello stesso insieme:
\[ u,v \in L(S), \quad a,b \in K \] \[ u= \sum_{i=1}^{n} a_{i}s_{i}, \quad v= \sum_{j=1}^{m} b_{j}s_{j}, \quad s_{i},t_{j} \in S \] \[ au + bv = a \sum_{i=1}^{n} a_{i}s_{i} + b \sum_{j=1}^{m} b_{j}t_{j} = \] \[ \sum_{i=1}^{n} (aa_{i})s_{i} + \sum_{j=1}^{m} (bb_{j})t_{j} \in L(S) \]Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è anche un sottoinsieme del sottospazio generato da quel sottoinsieme. Infatti, preso uno qualsiasi dei suoi elementi se lo moltiplichiamo per 1 otteniamo lui stesso che appartiene al sottospazio generato.
\[ W \subseteq V \space \text{è un sottospazio} => L(W) = W \]Invece se un sottoinsieme è anche un sottospazio, il sottospazio che lui genera è il sottoinsieme stesso.
\[ S \subseteq L(S). \space \text{Infatti} \forall s \in S, s = 1s \in L(S) \]Uno spazio vettoriale su un campo è finitamente generato quando esiste un suo sottoinsieme finito che lo genera.
\[ V \space \text{finitamente generato} => \exists s \subseteq V finito: V = L(S) \]Anche le matrici sono uno spazio vettoriale su un campo finitamente generato. Consideriamo l’insieme delle matrici dove ciascuna ha come elemento 1 nella stessa posizione dei suoi indici e 0 su tutto il resto:
\[ \mathscr{E} = \{E_{ij} : 1 \le i \le m, 1 \le j \le n \} \] \[ ent_{hk}(E_{ij} = { 1 \space \forall{h} = i, \forall{k} = j \lor 0 } \]Infatti una matrice si matrice si può ottenere dalla combinazione lineare di uno scalare con una matrice di questo insieme che ha come indice la posizione dell’elemento desiderato.
Per esempio, se \(m = n = 2\), allora \(mn = 4\). Le matrici elementari sono: \[ E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ \qquad E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Vogliamo provare che \[ \mathcal{Z} = \{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\} \] genera tutto \(K^{2,2}\). Infatti, sia \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in K^{2,2}. \] Allora \[ A = a_{11}E_{11} + a_{12}E_{12} + a_{21}E_{21} + a_{22}E_{22} \in \mathcal{L}(\mathcal{Z}). \] In forma compatta: \[ A = \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{ij} E_{ij}. \]Un altro esempio:
Sia \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,3}. \] Allora \[ A = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ = 1 \cdot E_{11} + 4 \cdot E_{12} + 6 \cdot E_{22} \in \mathcal{L}(E_{11}, E_{12}, E_{22}). \]