I criteri di congruenza dei triangoli

I criteri di congruenza dei triangoli sono i requisiti minimi che due o più triangoli qualsiasi devono avere in modo che possiamo dire che tutti i loro lati hanno la stessa lunghezza e tutti i loro angoli hanno rispettivamente la stessa ampiezza. Questo significa anche che i loro perimetri e le loro aree hanno gli stessi valori.

I triangoli sono delle figure geometriche chiuse caratterizzate da tre angoli e tre lati. Gli estremi dei lati del triangolo vengono chiamati vertici e la somma dei loro angoli interni è sempre uguale a 180 gradi. Questo significa che almeno uno dei suoi angoli potrebbe essere retto o superare i 90 gradi.

Il termine congruenza riferita a due figure geometriche sta ad indicare che esse sono sovrapponibili punto per punto con un movimento rigido, di traslazione, di rotazione o di entrambi. Questo significa che misurandoli hanno la stessa lunghezza, distanza, superfice e altro a seconda del tipo di figure considerate. Per questo motivo si usa anche il termine di isometria, che significa uguale misura.

L'immagine mostra degli esempi sui criteri di congruenza dei triangoli

I tre criteri di congruenza dei triangoli

I criteri di congruenza dei triangoli sono in tutto tre. Ciascuno di essi indica uno dei tre requisiti minimi affinché due triangoli possano essere considerati uguali. Riassumendo, se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso congruenti, due angoli e i lato compreso uguali, o i tre lati isometrici i due triangoli sono congruenti.

Il primo criterio di congruenza si può dimostrare considerandolo un vero e proprio teorema di geometria. Per ipotesi sappiamo che due lati dei triangoli considerati sono uguali. Questo significa che anche i loro vertici da cui partiranno gli angoli sono sovrapposti. Dato che i due lati hanno già tutti e tre i vertici del triangolo e che questi si sovrappongono anche il terzo lato del primo triangolo sarà sovrapposto al secondo.

Esercizio: Due segmenti si incontrano nel loro punto medio. Se si uniscono gli estremi liberi, si costruiscono due triangoli. Sono congruenti?

Il secondo criterio di congruenza si può dimostrare per assurdo, nel senso che cerchiamo di dimostrare il contrario. Partiamo dalle ipotesi, ciò che abbiamo già stabilito come vero: i due triangoli hanno un lato e i due angoli adiacenti congruenti. Poniamo il caso che il lato del primo triangolo che parte dal primo angolo isometrico sia minore o maggiore di quello del secondo: ci sarà un punto su quel lato che crea un segmento uguale al lato del secondo triangolo e che ci permette di costruire un terzo triangolo il cui terzo vertice coincide con il vertice del secondo angolo del primo triangolo. Però, in base al primo criterio, i due angoli dovrebbero avere la stessa ampiezza cosa impossibile perché il secondo angolo del primo triangolo è uguale a quello del secondo in base alle ipotesti stabilite prima.

L'immagine mostra la dimostrazione del secondo criterio di congruenza dei triangoli cercando di negarlo.

Il terzo criterio di congruenza si può dimostrare costruendo sotto il primo triangolo un altro che sia uguale al secondo. Per fare ciò basta costruire su uno dei vertici del primo triangolo un angolo uguale a quello del secondo e fare in modo che il nuovo lato sia congruente a quello sopra. Per il primo criterio il nuovo triangolo sarà isometrico al secondo.

Consideriamo adesso la nuova figura e tracciamo un segmento per parte dal vertice più in alto del primo triangolo fino al vertice più in basso del nuovo. Si formano così due triangoli isosceli, uno a sinistra e uno a destra del nuovo segmento. Gli angoli che ciascun lato dei rispettivi triangoli forma con il segmento sono gli angoli alla base dei rispettivi triangoli isosceli e sono, pertanto, congruenti. Questo significa che gli angoli più in alto e più in basso dei due triangoli sono anch’essi isometrici perché somma di angoli uguali. Il primo triangolo risulta essere congruente con il terzo triangolo sempre per il primo criterio e, di conseguenza, anche con il secondo.

L'illustrazione fa vedere come si dimostra il terzo criterio di congruenza
Quali sono gli elementi in comune?

Domanda: Per quale motivo nei ponteggi o in alcune opere architettoniche si costruiscono strutture triangolari?