Postulati e assiomi della geometria

Postulati e assiomi della geometria

I postulati e gli assiomi della geometria sono verità o princìpi che sono evidenti ma al tempo stesso non si è in grado di dimostrarli tramite deduzione. A differenza dei teoremi, non possiamo fare delle ipotesi e delle tesi su cui si basano. Ovviamente guardando quella figura o un disegno capiamo subito che quell’affermazione è vera, scontata.

I due termini nella geometria indicano la stessa cosa, nella pratica gli assiomi sono delle verità generiche non dimostrabili ma scontate mentre i postulati sono specifici della geometria e servono a dimostrare tutte le altre affermazioni e teorie.

Il matematico più famoso ad essersi occupato di questo è stato Euclide, vissuto nel III secolo a.C., dopo la divisione del regno di Alessandro Magno. I suoi tredici libri, chiamati Elementi, sono stati la base della geometria, dell’aritmetica, dell’ottica, dell’astronomia, e di molti altri campi.

Nel suo primo libro, Euclide enuncia cinque assiomi e 5 postulati. Questi ultimi, come già spiegato, sono attinenti alla geometria. I postulati di Euclide sono:

  1. Da un qualsiasi punto ad un altro si può condurre una linea retta;
  2. Un segmento si può prolungare all’infinito;
  3. Si può disegnare un cerchio con un qualsiasi centro e un qualsiasi raggio;
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
  5. Se una retta taglia altre due rette e forma con loro da un lato due angoli la cui somma è minore di 180°, le due rette prolungandosi si incontreranno prima o poi da quel lato

Come possiamo notare, basta disegnare le figure indicate e risultano ovvie le cinque affermazioni di Euclide.

Quinto postulato di Euclide
Quinto postulato di Euclide: le due rette si incontreranno in un punto dal lato destro

Assiomi e postulati di Hilbert

Nel 1899, il matematico David Hilbert, introdusse dei nuovi assiomi della geometria, non usando più il termine “postulati” e dividendoli in categorie.

Gli assiomi o postulati di appartenenza riguarda ciò che contiene gli enti fondamentali, che Hilbert considera soltanto il punto e la retta ma non il piano.

  1. Ad una retta appartengono almeno due punti e a un piano appartengono almeno tre punti;
  2. Due punti distinti possono appartenere ad un’unica retta;
  3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un unico piano;
  4. C’è almeno un punto del piano che non appartiene ad una rette contenuta in esso;
  5. Se una retta passa per due punti del piano, gli appartiene.

Ci sono poi gli assiomi di ordine, che definiscono l’ordine in cui sono disposti gli enti geometrici. In parole semplici se due punti appartengono ad una retta, uno precede l’altro, non esistono punti sovrapposti. Inoltre, preso un punto della retta ce n’è sempre almeno uno che lo precede e un altro che lo segue. E presi due punti su una retta, c’è sempre un terzo punto che si trova tra loro due.

Assiomi di hilbert
Assiomi di hilbert: si ricordi che il piano in realtà è infinito, proprio come la retta

Altre conseguenze di quanto detto sopra sono che da un punto passano infinite rette e che un piano contiene infiniti punti e infinite rette. Inoltre si può definire il segmento come parte di una retta delimitata da due punti di essa, detti estremi.

Hilbert si concentrò poi sugli assiomi di congruenza. Due figure geometriche sono congruenti quando si possono sovrapporre punto per punto, uguali in ogni cosa.

Rifacendosi al primo assioma di Euclide, non il postulato menzionato sopra, secondo cui cose uguali ad un’altra sono anch’essi uguali, affermò che se due segmenti sono congruenti ad un terzo segmento, sono anche congruenti tra di loro. Affermò anche che se due segmenti congruenti si sommano separatamente con altri segmenti congruenti tra loro, il risultato sarà due segmenti anch’essi congruenti.

Vedi anche: Assioma del trasporto di un segmento