Il prodotto scalare tra due vettori

Il prodotto scalare tra due vettori è il prodotto ottenuto moltiplicando tra loro i moduli dei due vettori e il coseno dell’angolo compreso tra di loro. Il risultato sarà una grandezza scalare e non un nuovo vettore; in questo modo otteniamo il prodotto tra il primo vettore con la proiezione ortogonale del secondo vettore su di esso annullando così il vettore risultante. Per rappresentare il nuovo vettore si ricorre invece al prodotto vettoriale.

Se disegniamo due vettori qualsiasi la cui origine è in comune, oppure spostiamo i due vettori in modo che le loro code combaciano, proiettando il secondo vettore sul primo costruiamo un triangolo rettangolo. Possiamo quindi calcolare il modulo della proiezione ortogonale del secondo vettore sul primo.

Come si fa il prodotto scalare tra vettori

Disegniamo i due vettori e costruiamo la proiezione ortogonale del vettore b sulla direzione di a. Abbiamo costruito il triangolo rettangolo OA’B. Applicando le formule delle funzioni goniometriche possiamo conoscere il modulo del componente del vettore b sulla direzione di a.

prodotto scalare dimostrazione
  • ba / b = cos α;
    • ba = b ∙ cos α;

Com’è stato detto, il prodotto scalare a ∙ b è uguale al prodotto tra il modulo di a e il modulo della proiezione di b su a, il vettore ba. Dato che quest’ultimo è uguale al prodotto del vettore b per il coseno dell’angolo compreso tra di loro, la formula sarà:

  • a ∙ b = a ∙ ba = a ∙ b ∙ cos α;

Per ottenere il prodotto scalare b ∙ a, dobbiamo proiettare il vettore a sulla retta in cui giace b. Semplificando le formule scopriremo che il risultato è uguale.

prodotto b scalare a
  • ab / a = cos α;
    • ab = a ∙ cos α;
  • b ∙ a = b ∙ ab = b ∙ a ∙ cos α

Riassumendo la formula generica del prodotto scalare tra due vettori è la seguente:

  • a ∙ b ∙ cos α.

Per potere ricavare il valore del coseno degli angoli è necessario usare una calcolatrice scientifica. E’ possibile usare quella installata nel proprio PC o nel proprio dispositivo mobile oppure acquistarla.

Vedi anche: La scomposizione di un vettore