Il prodotto vettoriale è uno dei modi per moltiplicare due vettori e consiste nel rappresentare un nuovo vettore perpendicolare al piano di appoggio dei suoi fattori e che abbia come modulo il prodotto tra i moduli dei due vettori e il seno dell’angolo compreso tra loro.
Per rappresentare il nuovo vettore si immagina di avere come piano di appoggio il palmo della mano destra dove il primo vettore ha come direzione il pollice, il secondo vettore ha come direzione il resto delle dita e il vettore prodotto stia salendo sopra il palmo della mano.
L’esempio della mano destra viene usata anche per capire che se volessimo invertire i fattori della moltiplicazione, il loro prodotto avrebbe verso opposto e il suo modulo avrebbe segno diverso. Infatti, se si immagina la propria mano e il pollice un vettore e le altre dita il secondo vettore, capovolgendola ci rendiamo conto che il vettore uscente scenderebbe verso il basso e non più verso l’alto.
I due vettori vengono disegnati in modo che abbiano l’origine in comune. Vengono anche tracciate le parallele di ciascuno sulla punta dell’altro in modo da costruire un parallelogramma la cui area coincide con il prodotto vettoriale.
Costruzione del parallelogramma e del vettore risultante
Per costruire graficamente il prodotto vettoriale su un foglio, abbiamo bisogno delle squadrette di 45° e di 30°/60° e del goniometro.
Stabiliti i moduli dei due vettori e l’ampiezza dell’angolo compreso, si disegniamo in modo che partano dallo stesso punto. Dopo avere tracciato il primo vettore, con il goniometro possiamo stabilire la direzione del secondo e disegnarlo. Tracciamo con l’aiuto delle due squadrette le parallele di ciascun vettore sulla punta dell’altro e costruiamo il parallelogramma. Dalla punte del secondo vettore tracciamo anche la sua perpendicolare sull’altro vettore. Dopo avere calcolato il modulo del vettore risultante, possiamo disegnarlo, ricordando che deve essere perpendicolare al piano di appoggio dei due vettori.
Dimostrazione del prodotto vettoriale
Nel caso del prodotto scalare, abbiamo moltiplicato il modulo del primo vettore per il modulo della proiezione ortogonale del secondo vettore sul primo. In altre parole, facendo riferimento alla figura sopra, per ricavare il prodotto scalare dovremmo moltiplicare OA per OH.
In questo caso, invece, otteniamo il prodotto tra i due vettori moltiplicando il modulo del primo per la distanza tra la punta del secondo vettore e il primo vettore. Moltiplichiamo, perciò, OA per BH, che sono anche la base e l’altezza del parallelogramma. Il loro prodotto equivale anche alla sua area.
La distanza BH è anche il cateto opposto all’angolo compreso tra i vettori considerando il triangolo rettangolo costruito BHO. Dallo studio sulle funzioni goniometriche sappiamo che il seno di un angolo è uguale al rapporto tra il suo cateto opposto e l’ipotenusa. Dalla formula inversa, ricavata applicando il secondo principio di equivalenza, possiamo calcolare la misura della distanza BH.
- sen α = BH / OB;
- BH = OB ∙ sen α
Sostituendo la nuova formula al fattore BH, la formula relativa all’area del parallelogramma e al modulo del prodotto vettoriale sarà:
- OA ∙ BH = OA ∙ OB ∙ sen α;
Che si può scrivere anche:
- a ∙ HB = a ∙ b ∙ sen α
Primo vettore proiettato sul secondo
Lo stesso si ottiene proiettando il primo vettore sul secondo e calcoliamo la distanza ottenuta. Abbiamo costruito un triangolo rettangolo dove l’altezza AK è il cateto opposto all’angolo compreso tra i vettori di partenza e che uguale ad a ∙ sen α.
Se moltiplichiamo il modulo del secondo vettore per la distanza tra la punta del primo vettore con la direzione del secondo vettore otteniamo lo stesso risultato: b ∙ a ∙ sen α.
Quanto spiegato vale sempre quando il primo vettore è come se si trovasse nel nostro pollice e il secondo vettore nella direzione delle altre dita e il palmo della mano fosse rivolta verso l’alto. Nel caso il palmo della nostra mano fosse rivolto verso il basso, il prodotto vettoriale darebbe sempre lo stesso modulo ma con segno negativo perché anche il vettore risultante sarebbe rivolto verso il basso. Questa proprietà in cui cambiando la posizione dei fattori il prodotto cambia di segno viene chiamata proprietà anticommutativa e la sua formula generica si scrive così:
- a x b = – (b x a)
Per calcolare il seno di un angolo è sufficiente usare una calcolatrice scientifica. Per farlo, basta digitare il numero e poi premere il pulsante sin ma ci sono anche calcolatrici dove prima bisogna premere il tasto e poi digitare il numero. Si può fare la prova con l’angolo di 90 gradi il cui seno è uguale a 1. Il metodo corretto in quella calcolatrice darà il risultato giusto.