La radice quadrata di 20 è un numero irrazionale, composto da cifre decimali infinite e non periodiche che, elevato a 2, dovrebbe dare come risultato 20.
Un numero decimale periodico è un numero formato da cifre decimali infinite dove alcune o tutte si ripetono continuamente come 12,15818181… o 5,4444…. Una radice è un’espressione matematica dove bisogna trovare quel numero che elevato all’indice indicato in alto a sinistra della radice permette di ottenere il numero indicato all’interno della radice, il radicando. E’ possibile saperne di più leggendo l’articolo relativo i numeri periodici e quello riguardante i radicali
Per risolvere radici complesse, si utilizza la scomposizione del radicando in fattori primi in modo da ottenere eventuali potenze che si semplificano con l’indice della radice. Il numero 20 è dato dal prodotto tra il quadrato di 2 e 5; la formula più semplice per esprimere la radice quadrata di 20 è, perciò, 2√5.
Un modo molto semplice per dimostrare che la radice quadrata di 20 è un numero irrazionale consiste nell’utilizzare il programma Geogebra, usato per imparare e insegnare la matematica e la geometria e utilizzare la spirale dei radicali. Questa spirale è formata da tanti triangoli rettangoli posti l’uno sopra l’altro e aventi il cateto maggiore congruente e adiacente con l’ipotenusa di quello precedente. Il triangolo iniziale ha entrambi i cateti uguale a 1, in modo che l’ipotenusa è uguale alla radice di 2. Viene aggiunto un secondo triangolo che ha il cateto minore uguale a 1 in modo che la sua ipotenusa è uguale a √3 e così via. Nel nostro caso possiamo partire un po’ più avanti nella spirale.
Su Geogebra si costruisce una linea dei numeri e si costruisce un triangolo rettangolo avente come cateto maggiore la radice quadrata di 16, perché il primo quadrato perfetto precedente a 20 e l’estremo sinistro coincidente con il punto 0. Il cateto minore sarà uguale a 1 in modo che l’ipotenusa sarà uguale alla radice quadrata di 17 tramite il teorema di Pitagora:
Sull’ipotenusa tracciamo la perpendicolare nell’estremo destro in modo da costruire un altro triangolo con il cateto minore uguale a 1. Otteniamo così la lunghezza dell’ipotenusa uguale a √18. Si ripete il procedimento fino ad ottenere l’ipotenusa uguale a √20.
A questo punto, si traccia un arco con centro il punto 0 e raggio la lunghezza dell’ipotenusa in modo da trovare la posizione della radice quadrata di 20. Si attivano le griglie principali e secondarie e si ingrandisce l’immagine notando che il punto trovato non coinciderà mai con una delle rette delle griglie.