Gli spazi vettoriali sono strutture algebriche a cui viene definita l’operazione di addizione che gode della proprietà commutativa a cui viene anche definita un’operazione di moltiplicazione con un’altra struttura algebrica a cui è stata definita sia l’operazione di addizione con tutte le sue proprietà e anche l’operazione di moltiplicazione con tutte le sue proprietà, compresi gli elementi neutri e gli elementi inversi per ogni elemento diverso dal neutro.
Per capire bene la definizione di spazio vettoriale bisogna pertanto conoscere la definizione dei suoi elementi. Una struttura algebrica è un insieme a cui viene definita, assegnata o implementata una o più operazioni che presi due elementi dell’insieme ritornano o danno come risultato un altro elemento dello stesso insieme. Le strutture algebriche vengono chiamate in modo diverso a seconda di alcune caratteristiche e proprietà.
Un’operazione che prende due elementi di un dato insieme e ritorna come risultato un elemento dello stesso insieme viene chiamata operazione binaria interna. E generalmente, si parla di operazioni di addizione e di moltiplicazione, anche se poi i metodi di calcolo sono diversi per ogni tipo di struttura algebrica, perché sono le operazioni binarie più comuni.
Una struttura algebrica può avere anche l’elemento neutro. Questo avviene quando applicando l’operazione binaria tra l’elemento neutro e uno qualsiasi degli altri elementi otteniamo l’elemento scelto. Tra parentesi tonde si scrive il nome dell’insieme e poi i simboli di una o più operazioni binarie interne separate da virgole. Così, scrivendo (ℕ,+,∙) definiamo le operazioni di addizione e di moltiplicazione nell’insieme dei numeri naturali.
Diciamo che esiste l’inverso di un elemento dell’insieme quando applicando l’operazione definita su loro due otteniamo come risultato l’elemento neutro. Se chiamiamo l’elemento a, il suo inverso viene indicato come a-1.
Se tutti gli elementi di un insieme sono invertibili rispetto un’operazione, la relativa struttura algebrica viene chiamata gruppo. Se l’operazione è commutativa, cioè il risultato è uguale applicando l’operazione sia sul primo con il secondo che il secondo con il primo (quindi la posizione dei due termini è irrilevante) allora la struttura algebrica viene chiamata gruppo abeliano.
Una struttura algebrica a cui sono state definite le operazioni binarie di addizione e moltiplicazione, dove entrambe godono della proprietà commutativa, associativa e hanno entrambi un elemento neutro e i cui elementi diversi dall’elemento neutro sono invertibili e dove l’operazione di moltiplicazione gode anche della proprietà distributiva rispetto la somma viene chiamata campo. Per una spiegazione dettagliata su questo argomento leggi il testo dedicato alle strutture algebriche.
Per fare degli esempi pratici le matrici non sono campi perché non sempre vale la proprietà commutativa della moltiplicazione. Però sono un gruppo abeliano, perché l’operazione di addizione è sempre commutativa. Invece, l’insieme dei numeri reali e dei numeri complessi sono campi.
Adesso, possiamo dare una definizione più rigorosa di spazio vettoriale. Dati un campo, i cui elementi chiamiamo scalari e con due elementi neutri (0 e 1), e un gruppo abeliano, i cui elementi chiamiamo vettori e con un elemento neutro (vettore nullo 0), diciamo che il gruppo abeliano, l’insieme dei vettori, è uno spazio vettoriale del campo se è definito un’operazione di prodotto tra uno scalare ed un vettore che dà come risultato un vettore e che gode delle proprietà:
- Distributiva del prodotto di un vettore sulla somma di due scalari,
- Distributiva del prodotto di uno scalare sulla somma di due vettori
- La proprietà associativa sul prodotto di due scalari e un vettore
- Esiste l’elemento neutro, lo scalare 1 che moltiplicato con un vettore ritorna lo stesso vettore.
In simboli:
Sia \((K,+,\cdot)\) un campo e \((V,+)\) un gruppo abeliano. La moltiplicazione per scalare è una funzione \[ f : K \times V \to V,\qquad (a,v) \mapsto av, \] tale che per ogni \(a,b \in K\) e \(u,v \in V\) valgono gli assiomi: \[ (a + b)v = av + bv \] \[ a(u + v) = au + av \] \[ a(bv) = (ab)v \] \[ 1v = v \]In base a quello che abbiamo detto finora, le matrici sono uno spazio vettoriale definiti sia sul campo dei numeri reali che sul campo dei numeri complessi.
Legge sull’annullamento del prodotto
Dato un K-spazio vettoriale (è un altro modo per definire uno spazio vettoriale su un campo), presi uno scalare e un vettore, il loro prodotto è uguale a 0 se e solo se lo scalare è uguale a 0 oppure se il vettore è nullo.
Supponiamo che lo scalare è uguale a 0. Applicando la proprietà distributiva del prodotto di un vettore sulla somma di due scalari (0+0 = 0), dimostriamo che il prodotto di un vettore per 0 è il vettore nullo:
\[ 0v = (0 + 0)v \] \[ 0v = 0v + 0v \] \[ \mathbf{0} = 0v \]Supponiamo che sia il vettore ad essere nullo e lo scalare diverso da 0. Vale la stessa dimostrazione ma applichiamo la proprietà distributiva del prodotto di uno scalare su una somma di vettori:
\[ a0 = a(0 + 0) \] \[ a0 = a0 + a0 \] \[ \mathbf{0} = a0 \]Adesso dimostriamo il caso in cui il prodotto è il vettore nullo. In questo caso se lo scalare è 0 abbiamo già visto che il risultato è per forza il vettore nulla. Se è diverso da 0, sappiamo che lo scalare è invertibile rispetto al prodotto perché è un elemento di un campo. Moltiplicando ambo i membri per l’inverso dello scalare otteniamo sempre il vettore nullo e per l’ultima proprietà del prodotto tra uno scalare e un vettore, il prodotto di 1 con un qualsiasi vettore è il vettore stesso:
\[ av = \mathbf{0} \] \[ a^{-1} av = a^{-1} \mathbf{0} \] \[ 1v = \mathbf{0} \quad \Rightarrow \quad v = \mathbf{0} \]