Il complemento algebrico di un elemento di una matrice quadrata è uno scalare ottenuto dal prodotto della potenza di -1 con esponente la somma degli indici della posizione dell’elemento con il determinante della matrice dopo avere eliminato la riga e la colonna indicate dagli indici della posizione dell’elemento. Viene chiamato anche cofattore dell’elemento di una matrice.
Per capire questo argomento è necessario conoscere alcune definizioni:
- Una matrice quadrata è un raggruppamento di numeri organizzati per lo stesso numero di righe e di colonne. I suoi elementi devono appartenere ad un campo, come i numeri reali o i numeri complessi, cioè un insieme a cui sono associati le operazioni di addizione e moltiplicazione per cui ciascuna operazione ha un elemento neutro e ogni elemento diverso da quello neutro è invertibile.
- Per indicare l’elemento di una matrice si usano due indici: il primo rappresenta la riga in cui si trova l’elemento, il secondo rappresenta la colonna.
- Il determinante si calcola mediante la permutazione di tutti gli elementi della matrice quadrata in base al numero di righe e di colonne che la formano. Si calcola il prodotto dedotto, cioè si scelgono gli elementi legati ad ogni permutazione si moltiplica con il relativo segno e poi si fa la sommatoria. Per saperne di più leggi gli articoli sul determinante e sulle permutazioni.
Ecco un esempio:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \] Il cofattore dell’elemento che si trova nella seconda riga e nella prima colonna è: \[ \text{Cof}_{2,1}(A) = (-1)^{2+1} \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot 9 – 3 \cdot 8) = -1 \cdot (18 – 24) = 6 \]Data una matrice quadrata, si chiama matrice dei cofattori la matrice che per ogni elemento il cofattore di quella data.
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \] La matrice dei cofattori di \(A\) è: \[ A_{\text{cof}} = \begin{pmatrix} (+1) \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ (-1) \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ (+1) \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} & (-1) \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} & (+1) \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \] Calcoliamo ogni determinante: \[ A_{\text{cof}} = \begin{pmatrix} 24 & -5 & -4 \\ -12 & 3 & 2 \\ -2 & 15 & 4 \end{pmatrix} \]Data una matrice, chiamiamo matrice aggiunta la trasposta della sue matrice dei cofattori. Quindi data una matrice quadrata, prima otteniamo la matrice dei cofattori e poi la trasposta invertendo gli indici della posizione di ogni elemento quando sono diversi tra loro:
\[ A_{\text{Agg}} = \begin{pmatrix} 24 & -12 & -2 \\ -5 & 3 & 15 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix} \]Teoremi di Laplace sui complementi algebrici
Il primo teorema di Laplace afferma che data una matrice quadrata la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna con i rispettivi complementi algebrici è uguale al determinante della matrice.
\[ \det A = \sum_{z=1}^{n} \operatorname{entr}_{iz}(A) \cdot \operatorname{cof}_{iz}(A) = \sum_{z=1}^{n} \operatorname{entr}_{zj}(A) \cdot \operatorname{cof}_{zj}(A) \]Esempio sulla matrice di prima:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \] Applichiamo sulla prima riga: \[ \det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 24 + 10 – 12 = 22 \] Applichiamo sulla prima colonna: \[ \det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} – 0 + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 24 + (-2) = 22 \] Entrambe le espressioni hanno lo stesso determinante.Il secondo teorema di Laplace afferma che data una matrice quadrata, la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna con i complementi algebrici di un’altra riga o colonna è uguale a 0.
\[ \sum_{z=1}^{n} \operatorname{entr}_{iz}(A) \cdot \operatorname{cof}_{hz}(A) = 0 \] \[ \sum_{z=1}^{n} \operatorname{entr}_{zj}(A) \cdot \operatorname{cof}_{zh}(A) = 0 \]Esempio:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \] Consideriamo la prima e la seconda riga: \[ S = 1 \cdot \text{Cofactor}_{2,1} + 2 \cdot \text{Cofactor}_{2,2} + 3 \cdot \text{Cofactor}_{2,3} \] Dove: \[ \text{Cof}_{2,1} = -12, \quad \text{Cof}_{2,2} = 3, \quad \text{Cof}_{2,3} = 2 \] Perciò: \[ S = 1 \cdot (-12) + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = -12 + 6 + 6 = 0 \] Questo conferma il secondo teorema di Laplace.Da questi teoremi possiamo dimostrare che il prodotto tra una matrice e la sua aggiunta è uguale al prodotto del determinante della matrice con l’identità.
Infatti, ciascun elemento della matrice prodotto è ottenuto dalla sommatoria dei prodotti di tutti gli elementi della stessa riga della prima matrice e i rispettivi elementi della medesima colonna della seconda matrice rispetto alla matrice prodotto. Ricordiamo la formula:
\[ \text{ent}_{ij}(AB) \overset{\text{DEF}}{=} \sum_{r=1}^{n’} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{ent}_{rj}(B) \]In questo caso, la seconda matrice è l’aggiunta di quella data che coincide con la trasposta della matrice dei cofattori. Se sostituiamo le due matrici la formula del prodotto cambia: ciascun elemento della prima riga non viene moltiplicato più con l’elemento della colonna corrispondente ma con il cofattore dell’elemento della rispettiva colonna dei cofattori. E sappiamo che il prodotto è 0 se gli indici dell’elemento sono diversi altrimenti otteniamo il determinante.
\[ \text{ent}_{ij}(A) = \sum_{r=1}^{n} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{ent}_{rj}(A_{\text{Agg}}) \] \[ \text{ent}_{ij}(A) = \sum_{r=1}^{n} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{ent}_{rj}(^TA_{\text{Cof}}) \] A questo punto inverto gli indici: \[ \text{ent}_{ij}(A) = \sum_{r=1}^{n} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{ent}_{jr}(A_{\text{Cof}}) \] \[ \text{ent}_{ij}(A) = \sum_{r=1}^{n} \text{ent}_{ir}(A) \cdot \text{cof}_{jr}(A) \]