Il teorema di Talete dice che se un fascio di rette parallele vengono tagliate da due trasversali, formeranno su di esse due gruppi di segmenti che saranno proporzionali tra loro. Possiamo dimostrarlo tenendo conto che se tracciassimo la parallela ad una trasversale che intersechi la seconda, i segmenti formati avranno la stessa lunghezza di quelli formati dalla trasversale originale.
Il fatto che questi due gruppi di segmenti, o classi di grandezze, siano direttamente proporzionali significa che a grandezze uguali al gruppo a sinistra corrisponda grandezze uguali al gruppo che si trova a destra. Inoltre, il rapporto tra i rispettivi segmenti formati da due rette parallele tagliate da due trasversali è sempre costante, ha lo stesso valore anche se aumenta o diminuisce la distanza tra le due rette.
Dimostrazione del teorema di Talete
Dobbiamo dimostrare che se i segmenti formati dalle parallele con la prima trasversale sono della stessa lunghezza, anche quelli formati dalla seconda trasversale sono congruenti. Nell’immagine sopra abbiamo quattro rette parallele tagliate da due trasversali. Nei punti A e C tracciamo dei segmenti paralleli alla seconda trasversale e costruiamo due triangoli: AFB e CGD.
Teniamo presente che abbiamo disegnato apposta le rette in modo che AB = CD. Inoltre, gli angoli ABF e CDG sono corrispondenti rispetto alle rette parallele tagliate dalla trasversale e quindi hanno la stessa ampiezza.
Anche gli angoli BAE e DCG sono corrispondenti se si considerano i segmenti AF e CG come parti di rette parallele tagliate dalla trasversale. Abbiamo quindi due triangoli che hanno uguali un lato e due angoli. AFB e CGD sono perciò uguali per il secondo criterio di congruenza.
Dato che AF = A’B’ e CG = C’D’ per costruzione, allora anche A’B’ = C’D’. In pratica basterebbe costruire su A’ e B’ i segmenti paralleli alla prima trasversale e ripetere il ragionamento basato sul criterio di parallelismo. Da qui deriva la proporzione:
AB : CD = A’B’ : C’D’
Infatti all’aumentare di AB aumenta anche A’B’, e al diminuire di AB diminuisce la lunghezza di A’B’. La stessa relazione c’è tra CD e C’D’. Inoltre, il rapporto tra le due coppie di segmenti è uguale.
Applicazioni sulle figure piane
Il teorema di Talete ci permette di ricavare altri teoremi. Per esempio, possiamo dire che se due triangoli hanno angoli uguali i loro lati, aventi la stessa inclinazione, sono proporzionali tra loro e si definiscono simili. Infatti, se mettiamo il primo triangolo all’interno del secondo, sembrerà come se i loro lati fossero due trasversali e le loro basi due rette parallele.
Siamo in grado anche di suddividere un segmento in parti uguali. Ci basterà tracciare una semiretta dal primo estremo di angolo qualsiasi e dividerla per il numero di parti che ci interessa. Congiungiamo l’estremo finale della semiretta con l’estremo finale del segmento e tracciamo le parallele del nuovo segmento su tutti i punti della semiretta. Infatti il segmento AB e la semiretta diventano le trasversali che tagliano le rette parallele.
