Il determinante di una matrice quadrata è uno scalare ottenuto dalla sommatoria del prodotto del segno di ciascuna delle permutazioni di un insieme di con un numero di elementi pari al numero di righe e colonne della matrice con il prodotto dedotto associato alla permutazione sulla matrice.
Per capire la definizione di determinante è necessario pertanto conoscere gli elementi per calcolarlo. Una matrice quadrata è un raggruppamento di numeri organizzati per lo stesso numero di righe e di colonne. I suoi elementi devono appartenere ad un campo, come i numeri reali o i numeri complessi, cioè un insieme a cui sono associati le operazioni di addizione e moltiplicazione per cui ciascuna operazione ha un elemento neutro e ogni elemento diverso da quello neutro è invertibile.
Un numero qualsiasi appartenente al campo viene chiamato scalare e il determinante è infatti uno scalare ottenuto dalla sommatoria di prodotti tra scalari. Una permutazione è uno scambio che trasforma un insieme di numeri nello stesso insieme ma con ordine diverso. Il segno di una permutazione dipende dal numero di scambi necessari per trasformare un insieme di numeri nella sua identità, cioè lo stesso insieme con i numeri ordinati in modo crescente. Se richiede un numero pari di passaggi allora il segno è 1 altrimenti è -1
Data una matrice quadrata e una permutazione possiamo definire la funzione prodotto dedotto associato alla permutazione ed è uguale al prodotto di tutti gli elementi della matrice la cui posizione corrisponde a ciascun indice delle righe e come colonne prendiamo la posizione indicata nello stesso indice della permutazione.
\[ \rho_\sigma = \prod_{z=1}^{n} a_{z\,\sigma(z)} \quad \text{dove } A = (a_{ij}) \in \mathbb{K}^{n \times n},\ \sigma \in S_n \]Ecco un esempio usando una matrice generica con 4 righe e 4 colonne e una permutazione σ = {3,2,4,1}:
\[ \sigma(1) = 3,\quad \sigma(2) = 2,\quad \sigma(3) = 4,\quad \sigma(4) = 1 \] \[ \rho_\sigma = a_{1\,3} \cdot a_{2\,2} \cdot a_{3\,4} \cdot a_{4\,1} \]\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \color{red}{a_{13}} & a_{14} \\ a_{21} & \color{red}{a_{22}} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{red}{a_{34}} \\ \color{red}{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \]E’ da qui che nasce la formula del determinante. Data una matrice quadrata Kn,n , creiamo l’insieme con n elementi ordinati e applichiamo la sommatoria del prodotto associato di ciascuna permutazione sulla matrice moltiplicato con il segno della permutazione.
Perciò, data una matrice A ∈ Kn,n, possiamo stabilire ciascuna permutazione di n, σn. La formula è:
\[ \det A = \prod_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \rho_\sigma \]Segue la formula per calcolare il determinante delle matrici quadrate più usate:
- n = 1 => Sn = {1}
- det A = a11
- n = 2 => Sn = {(1,2),(2,1)}
- det A = ρ(1,2) – ρ(2,1) = a12 – a21
- n = 3 => Sn = { {1,2,3} , {1,3,2} , {3,2,1} , {2,1,3}, {2,3,1}, {3,1,2} }
- det A = ρ(1,2,3) + ρ(2,3,1) + ρ(3,1,2) – ρ(1,3,2) – ρ(3,2,1) – ρ(2,1,3)
- det A = a11 a22 a33 + a12 a3 a31 + a13 a21 a32 – a11 a23 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a32
Nota che abbiamo inserito prima le permutazioni di classe pari e poi quelle di classe dispari. Ecco degli esempi:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \] \[ \det(C) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = -2 \] \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} \] \[ \det(D) = 1 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 0 – 3 \cdot 4 \cdot 1 – 2 \cdot 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 \cdot 0 = 22 \]Proprietà del determinante
Una matrice può anche essere moltiplicata con uno scalare, cioè un numero appartenente al campo delle sue righe e colonne. Ad esempio, se usiamo i numeri reali dentro la matrice allora possiamo moltiplicarla con uno qualsiasi dei numeri reali. Il prodotto scalare di una matrice è uguale al prodotto dello scalare per ogni elemento della matrice:
kM = k \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \end{pmatrix}La somma tra due prodotti scalari su due matrici che hanno rispettivamente lo stesso numero di righe e di colonne viene chiamata combinazione lineare e si indica così:
\[ A,B \in \mathbb{K}^{m \times n} \text{ and } \alpha, \beta \in \mathbb{K} \] \[ C = \alpha A + \beta B \]Multilinearità e alternanza
Possiamo anche scrivere una matrice per colonne, oltre che per righe. Supponiamo che una colonna sia combinazione lineare di due colonne. Ad esempio 2 ∙ C2 + 3 ∙ C3. Possiamo effettuare tutti i calcoli e scrivere una sola colonna oppure lasciare l’intera matrice così com’è.
Possiamo calcolare il determinante creando due matrici da quella data e sommandone i determinanti. Procediamo nel seguente modo:
- moltiplichiamo il primo scalare per il determinante della matrice con le stesse colonne e conservando soltanto la prima colonna e sommiamo a questo il prodotto tra il secondo scalare e il determinante della matrice formata da tutte le colonne conservando soltanto la seconda colonna della combinazione lineare.
Ecco un esempio:
\[ A = \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix},\ 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \] \[ 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \end{pmatrix}, \quad 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]\[ \Rightarrow \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 17 \end{pmatrix} \] \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 17 \end{pmatrix} \]Calcoliamo il determinante:
\[ \det A = 5 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \det A = 5 \cdot (2 \cdot 3 – 4 \cdot 1) + 2 \cdot (2 \cdot 1 – 4 \cdot 0) \] \[ \det A = 5 \cdot (6 – 4) + 2 \cdot (2 – 0) \] \[ \det A= 5 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 10 + 4 = 14 \]Facciamo una verifica:
\[ \det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 17 \end{pmatrix} = 2 \cdot 17 – 4 \cdot 5 = 34 – 20 = 14 \]Un’altra proprietà, chiamata alternanza del determinante dice che se una matrice ha due colonne in posizioni diverse uguali, il determinante è uguale a 0. Lo stesso vale se una matrice ha una colonna nulla oppure se una sua colonna è combinazione lineare di altre due o più colonne.
\[ F = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 4 & 5 & 5 \\ 7 & 8 & 8 \end{pmatrix} \] \[ \det(F) = 1 \cdot (5 \cdot 8 – 5 \cdot 8) – 2 \cdot (4 \cdot 8 – 5 \cdot 7) + 2 \cdot (4 \cdot 8 – 5 \cdot 7) = 0 \]Nota: in questo caso per ogni elemento della prima riga ho applicato la proprietà distributiva raccogliendolo sia per la permutazione pari che dispari.
Altre proprietà del determinante
Per il teorema di Binet, il determinante del prodotto di due matrici quadrate è uguale al prodotto tra il determinante della prima con quello della seconda.
det(AB) = det A ∙ det B
Se in una matrice quadrata scambio di posto due colonne il determinante cambia di segno. Mentre se sommiamo una colonna con la combinazione lineare di altre colonne e inseriamo i risultati nella stessa posizione della colonna di partenza, il determinante non cambia.
Queste ultime due regole sono molto importanti perché ci permettono di semplificare una matrice e ottenere lo stesso determinante. Bisogna soltanto ricorda il numero di scambi effettuati tra le colonne che sono delle vere e proprie permutazioni e considerare se cambiare il segno del determinante trovato oppure no. In breve: se ho effettuato un solo scambio tra le colonne allora il determinante trovato è l’opposto di quello della matrice originale, se ho effettuato due scambi ha lo stesso segno.
Le stesse regole valgono per le righe come mostrato in questo esempio:
\[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \]\[ R_2 \to R_2 – 2R_1 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} \] \[ R_3 \to R_3 – R_1 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]\[ R_2 \leftrightarrow R_3 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \]\[ \det(A) = – \left( 2 \cdot 4 \cdot (-5) \right) \] \[ \det(A) = -(-40) = 40 \]\[ \boxed{\det(A)=40} \]