Le disequazioni

Le disequazioni

Le disequazioni sono disuguaglianze tra due espressioni letterali dove bisogna trovare i valori che, se sostituiti a una o più lettere definite incognite, le rendono vere. A differenza delle equazioni, il cui simbolo che mette in relazione due espressioni è sempre =, si possono usare diversi simboli: < o > che stanno per “minore di” o “maggiore di” e ≤ oppure ≥ che si traducono in “minore o uguale a” e “maggiore o uguale a”.

Diversamente dalle equazioni, che potrebbero non essere vere perché non c’è nessun valore che si può sostituire all’incognita, in una disequazione ci sono sempre alcuni valori che sostituendosi alle lettere, la rendono vera, tranne quando capita che l’incognita venga moltiplicata per 0. Questi valori possono essere illimitati oppure avere un numero finito. Ad esempio, nella disuguaglianza x + 2 > 5, tutti i numeri maggiori di 3 sono sostituibili all’incognita.

Per rappresentare la soluzione di una disequazione ci si avvale dei simboli mostrati sopra oppure di una linea dove sono indicati gli intervalli dei numeri che rendono vera la disuguaglianza. Un intervallo può essere illimitato a sinistra o a destra, a seconda se è costituito da tutti i numeri che precedono o seguono un certo numero, o limitato quando è compreso tra due numeri. Nella disequazione 3 < x ≤ 6, l’intervallo comprende i numeri 4, 5 e 6. Questo intervallo è aperto a sinistra perché non include il numero 3 mentre è chiuso a destra in quanto anche l’estremo rende vera la disuguaglianza.

Indica nelle seguenti disequazioni se l’intervallo è limitato, illimitato, chiuso o aperto:

  • x – 3 > 5;
  • x < 4;
  • 5 > x ≤ 7

Tipi di disequazioni e principi di equivalenza

Proprio come le equazioni, le disequazioni possono essere:

  • Intere se l’incognita appare solo al numeratore;
  • Fratte se l’incognita si trova anche al denominatore;
  • Numeriche se oltre all’incognita ci sono soltanto numeri;
  • Letterali quando oltre all’incognita ci sono altre lettere, chiamate parametri.
  • Di primo grado, quando l’incognita ha sempre grado 1;
  • Di secondo grado, quando alcuni termini dell’incognita sono elevate alla potenza del 2, come x2 + 5 > 0.

Esse possono, inoltre, essere equivalenti quando hanno le stesse soluzioni, come nel caso di x +4 < 0 e 2x < 8. Questo significa anche che possiamo semplificare una disequazione applicando gli stessi principi di equivalenza delle equazioni.

Il primo principio di equivalenza ci permette di applicare la regola del trasporto, secondo cui spostando un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno, otteniamo una disequazione equivalente alla prima. Infatti, è come se sommassimo o togliessimo ad entrambi i membri quel termine.

Il secondo principio di equivalenza ci permette di cambiare il segno a tutti i termini dei due membri della disuguaglianza come anche di togliere l’incognita dal denominatore trasformando una disequazione fratta in una intera. E’ come se stessimo moltiplicando tutti i termini per -1 oppure per l’incognita semplificando così le frazioni. In questo caso, però, quando si cambia il segno a tutti i termini è necessario cambiare anche il verso della disequazione. Inoltre, nessun valore deve annullare l’espressione ottenuta.

Esercizi

Ricordando come si risolvono le equazioni, prova a risolvere queste disequazioni di primo grado:

  • 3x > 5 – x;
  • 2/x > 4;
  • -x < -1;
  • (4/3)x > 0;
  • -5x + 7/5 < (5/4)x +8.
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