Le disequazioni

Le disequazioni sono disuguaglianze tra due espressioni letterali dove bisogna trovare i valori che, se sostituiti a una o più lettere definite incognite, le rendono vere. A differenza delle equazioni, il cui simbolo che mette in relazione due espressioni è sempre =, si possono usare diversi simboli: < oppure > che stanno per “minore di” o “maggiore di” e ≤ oppure ≥ che si traducono in “minore o uguale a” e “maggiore o uguale a”.

Diversamente dalle equazioni, che potrebbero non essere vere perché non c’è nessun valore che si può sostituire all’incognita, in una disequazione ci sono sempre alcuni valori che sostituendosi alle lettere, la rendono vera, tranne quando capita che l’incognita venga moltiplicata per 0. Questi valori possono essere illimitati oppure avere un numero finito. Ad esempio, nella disuguaglianza x + 2 > 5, tutti i numeri maggiori di 3 sono sostituibili all’incognita.

Per rappresentare la soluzione di una disequazione ci si avvale dei simboli mostrati sopra oppure di una linea dove sono indicati gli intervalli dei numeri che rendono vera la disuguaglianza. Un intervallo può essere illimitato a sinistra o a destra, a seconda se è costituito da tutti i numeri che precedono o seguono un certo numero, o limitato quando è compreso tra due numeri. Nella disequazione 3 < x ≤ 6, l’intervallo comprende i numeri 4, 5 e 6. Questo intervallo è aperto a sinistra perché non include il numero 3 mentre è chiuso a destra in quanto anche l’estremo rende vera la disuguaglianza.

Indica nelle seguenti disequazioni se l’intervallo è limitato, illimitato, chiuso o aperto:

• x – 3 > 5;
• x < 4;
• 5 > x ≤ 7

Tipi di disequazioni e principi di equivalenza

Proprio come le equazioni, le disequazioni possono essere:

• Intere se l’incognita appare solo al numeratore;
• Fratte se l’incognita si trova anche al denominatore;
• Numeriche se oltre all’incognita ci sono soltanto numeri;
• Letterali quando oltre all’incognita ci sono altre lettere, chiamate parametri.
• Di primo grado, quando l’incognita ha sempre grado 1;
• Di secondo grado, quando alcuni termini dell’incognita sono elevate alla potenza del 2, come x² + 5 > 0.

Esse possono, inoltre, essere equivalenti quando hanno le stesse soluzioni, come nel caso di x + 4 < 0 e 2x < 8. Questo significa anche che possiamo semplificare una disequazione applicando gli stessi principi di equivalenza delle equazioni.

Il primo principio di equivalenza ci permette di applicare la regola del trasporto, secondo cui spostando un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno, otteniamo una disequazione equivalente alla prima. Infatti, è come se sommassimo o togliessimo ad entrambi i membri quel termine.

Il secondo principio di equivalenza ci permette di cambiare il segno a tutti i termini dei due membri della disuguaglianza come anche di togliere l’incognita dal denominatore trasformando una disequazione fratta in una intera. E’ come se stessimo moltiplicando tutti i termini per -1 oppure per l’incognita semplificando così le frazioni. In questo caso, però, quando si cambia il segno a tutti i termini è necessario cambiare anche il verso della disequazione. Inoltre, nessun valore deve annullare l’espressione ottenuta.

7 – 3 > 8 – 5

4 > 3

Esercizi

Ricordando come si risolvono le equazioni, prova a risolvere queste disequazioni di primo grado:

• 3x > 5 – x;
• 2/x > 4;
• -x < -1;
• (4/3)x > 0;
• -5x + 7/5 < (5/4)x +8.

Disequazioni di secondo grado

Possiamo risolvere una disequazione di secondo grado proprio come si risolvono le equazioni dello stesso tipo. Anche in questo caso si applica la formula risolutiva per ricavare le possibili incognite dopo avere semplificato la disequazione nella forma ax² + bx + c < 0 o con un altro segno di disuguaglianza a seconda dell’esercizio che dobbiamo risolvere.

Spesso capita che le soluzioni siano due dovute alla somma e alla differenza dei termini del numeratore della formula risolutiva. In questo caso, i valori dell’incognita che rendono vera la disequazione sono comprese nell’intervallo tra le due soluzioni.

In questo caso la formula risolutiva viene chiamata equazione associata alla disequazione perché serve soltanto a trovare le soluzioni da considerare per rendere vera tale disequazione.

Proviamo a risolvere la disequazione di secondo grado 2x² + 5x + 4 < 3. Il primo passaggio da fare è quello di renderla in forma normale:

2x² + 5x + 4 – 3 < 0

2x² + 5x + 1 < 0

A questo punto ricaviamo il radicando della formula risolutiva Δ = b² – 4ac = 25 – 8 = 17. Dato che Δ è maggiore di 0, l’equazione associata ha due soluzioni

Possiamo affermare che la disequazione è vera se x è compreso tra – 2,28 e – 0,22. La stessa cosa si vedrà nel relativo grafico sul piano cartesiano.

Disequazioni fratte e letterali

Una disequazione si dice fratta quando l’incognita appare al denominatore di almeno una frazione. Per poterla risolvere è necessario applicare le operazioni delle frazioni e i principi di equivalenza in modo da avere una sola frazione al membro a sinistra. Dobbiamo calcolare il segno in base al valore dell’incognita sia al numeratore che al denominatore e fare il rapporto dei segni per capire in quali casi la disequazione risulta verificata.

A seconda del grado della disequazione si procederà come si fa normalmente: se è lineare, si applicano i principi di equivalenza fino a ricavare la soluzione; se è di secondo grado completa si applica la formula risolutiva.

Le disequazioni letterali hanno altre lettere oltre all’incognita nei loro membri. Proprio come nelle equazioni letterali, bisogna specificare quali valori dei parametri renderebbero impossibile la veracità della disequazione. Ad esempio in ax + 5 < 6, se a fosse uguale a 0 la disequazione non sarebbe vera e quindi escludiamo questo valore. Dobbiamo perciò ridurla nella forma Ax < B dove A è il coefficiente dell’incognita e B è il termine noto e considerare i vari casi in base al segno del parametro.

ax < 6 – 5

ax < 1

x < 1/a