Logo Infodit

L’ortocentro di un triangolo

L’ortocentro di un triangolo è il punto in cui si incontrano le sue altezze, le tre rette che partono da ciascun vertice e cadono sul rispettivo lato opposto in modo da formare due angoli retti, ampi 90 gradi.

Per disegnare l’altezza di un triangolo si usa lo stesso metodo per costruire la perpendicolare a una retta partendo da un punto esterno: in questo caso ciascun vertice rappresenta il punto esterno e il suo lato opposto giace sulla retta su cui deve cadere la perpendicolare.

Apriamo il compasso e lo puntiamo sul primo vertice. Con un raggio abbastanza ampio tracciamo due archi che passano per il lato opposto al vertice. Puntiamo il compasso su ciascun punto di intersezione tra l’arco e il lato che interseca e tracciamo due archi con lo stesso raggio ma che sia almeno più grande di quello usato per fare i primi due archi. Uniamo il vertice con punto di intersezione degli ultimi archi e avremo costruito la prima altezza. Dobbiamo fare la stessa cosa partendo dagli altri due vertici. Il punto di incontro tra le tre altezze rappresenta l’ortocentro del triangolo.

L'immagine mostra la costruzione della prima altezza del triangolo. L'unione delle tre altezze determina la posizione dell'ortocentro.

Proprietà dell’ortocentro di un triangolo

Dopo aver trovato il punto di incontro delle tre altezze e la posizione dell’ortocentro, possiamo disegnare su ogni vertice la retta parallela al suo lato opposto e unire i tre punti in cui si incontrano le rette, costruendo in questo modo un triangolo che è il doppio di quello principale e che è formato da quattro triangoli congruenti.

ortocentro triangolo qualsiasi

Guardando la figura possiamo dimostrare che ciascun triangolo è congruente a quello centrale e di partenza per il secondo criterio avendo ciascuno in comune:

  • un lato: AC = AC, AB = AB e BC = BC;
  • gli angoli adiacenti a ciascun lato congruenti perché sono alterni interni con gli angoli del triangolo principale che appartengono a due rette parallele tagliate da una trasversale: AB e DE sono tagliate da AC e da BC, mentre i lati BC ed EF sono tagliate da AB.

Questo significa che ciascun lato del triangolo più grande è lungo il doppio di quello di partenza. Infatti ciascuno è uguale alla somma dei due più piccoli, i quali sono congruenti al rispettivo lato del triangolo principale:

  • DE = DC + CE = AB + AB = 2 AB;
  • DF = DA + AF = BC + BC = 2 BC;
  • EF = EB + BF = 2 AC

Questo vuol dire anche che ciascuna altezza del primo triangolo risulta essere anche l’asse di quello più grande, perché divide ciascun lato in due parti uguali. Se dall’ortocentro disegniamo una circonferenza che tocca tutti e tre i vertici del nuovo triangolo, scopriremo che esso corrisponde anche al circocentro, punto di intersezione degli assi, del nuovo triangolo.

E’ anche possibile ricorrere alle formule trigonometriche per conoscere la lunghezza del raggio della circonferenza. Infatti, il rapporto tra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto è uguale alla lunghezza del diametro della circonferenza. Perciò è sufficiente dimezzare questo rapporto per ricavare il raggio.

  • 2R = AD / sen E;
    • R = 1/2 ∙ (AD / sen E)
  • 2R = EF / sen D;
    • R = 1/2 ∙ (EF / sen D)
  • 2R = DE / sen F;
    • R = 1/2 ∙ (DE / sen F)

Inoltre ciascuna altezza del triangolo principale lo divide in due triangoli rettangoli, e la sua lunghezza è uguale ad una delle due ipotenuse per il seno dell’angolo opposto all’altezza appartenente allo stesso triangolo dell’ipotenusa.

formule altezza
  • CP = AC ∙ sen α;
  • CP = AC ∙ sen β;
  • BM = AB ∙ sen α;
  • BM = BC ∙ sen γ
  • AN = AB ∙ sen β;
  • AN = AC ∙ sen γ

L’ortocentro è sempre interno ad un triangolo acutangolo ed esterno ad un triangolo ottusangolo mentre in un triangolo rettangolo coincide con il punto di incontro dei due cateti.