L’ortocentro di un triangolo

L’ortocentro di un triangolo

L’ortocentro è il punto in cui si incontrano le tre altezze di un triangolo, le tre rette che partendo da ciascun vertice cadono sul lato opposto in modo da formare due angoli retti, ampi 90 gradi.

Dopo aver trovato il punto di incontro possiamo disegnare su ogni vertice la retta parallela al suo lato opposto e unire i tre punti in cui si incontrano le rette, costruendo costruito un triangolo che è il doppio di quello principale e che è formato da quattro triangoli congruenti.

ortocentro triangolo qualsiasi

Guardando la figura possiamo dimostrare che ciascun triangolo è congruente a quello centrale e di partenza per il secondo criterio avendo ciascuno in comune:

  • un lato: AC = AC, AB = AB e BC = BC;
  • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono alterni interni con gli angoli del triangolo principale perché appartengono a due rette parallele tagliate da una trasversale: AB e DE sono tagliate da AC e da BC, mentre i lati BC ed EF sono tagliate da AB.

Questo significa che ciascun lato del triangolo più grande è lungo il doppio di quello di partenza. Infatti:

  • DE = DC + CE = AB + AB = 2 AB;
  • DF = DA + AF = BC + BC = 2 BC;
  • EF = EB + BF = 2 AC

Questo significa anche che ciascuna altezza del primo triangolo risulta essere anche l’asse di quello più grande, perché divide ciascun lato in due parti uguali. Se dall’ortocentro disegniamo una circonferenza che tocca tutti e tre i vertici del nuovo triangolo, scopriremo che esso corrisponde anche al circocentro, punto di intersezione degli assi, del nuovo triangolo.

E’ anche possibile ricorrere alle formule trigonometriche per conoscere la lunghezza del raggio della circonferenza. Infatti, il rapporto tra ciascun lato e il seno dell’angolo opposto è uguale alla lunghezza del diametro della circonferenza. Perciò è sufficiente dimezzare questo rapporto per ricavare il raggio.

  • 2R = AD / sen E;
    • R = 1/2 ∙ (AD / sen E)
  • 2R = EF / sen D;
    • R = 1/2 ∙ (EF / sen D)
  • 2R = DE / sen F;
    • R = 1/2 ∙ (DE / sen F)

Inoltre ciascuna altezza del triangolo principale lo divide in due triangoli rettangoli, e la sua lunghezza è uguale ad una delle due ipotenuse per il seno dell’angolo opposto all’altezza appartenente allo stesso triangolo dell’ipotenusa.

formule altezza
  • CP = AC ∙ sen α;
  • CP = AC ∙ sen β;
  • BM = AB ∙ sen α;
  • BM = BC ∙ sen γ
  • AN = AB ∙ sen β;
  • AN = AC ∙ sen γ

L’ortocentro è sempre interno ad un triangolo acutangolo ed esterno ad un triangolo ottusangolo mentre in un triangolo rettangolo coincide con il punto di incontro dei due cateti.

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