La regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma è uno dei modi per ricavare la somma di due vettori e disegnare il vettore risultante. Il parallelogramma viene creato facendo coincidere l’origine dei due vettori e tracciare la parallela di ciascun vettore sulla punta dell’altro. Il vettore somma ha l’origine in comune con gli altri vettori e la punta della freccia dove si incontrano le due parallele.

I vettori vengono usati per rappresentare grandezze che non si possono esprimere indicando semplicemente un valore e un’unità di misura ma bisogna anche indicare la loro direzione e il verso in cui sono orientati. Tra queste grandezze ci sono lo spostamento, la forza e la velocità. Per questo motivo ci si serve di frecce la cui lunghezza viene rappresentata in maniera direttamente proporzionale all’intensità della grandezza.

Dimostrazione e calcolo con la regola del parallelogramma

La regola del parallelogramma ci permette di calcolare facilmente la somma o la differenza di due vettori. Si disegnano i due vettori in modo che le loro code combacino e, tramite le due squadrette, quelle da 45° e da 60°/30° si tracciano le parallele a ciascun vettore sulla punta dell’altro. Il punto di intersezione tra le due parallele sarà la punta del vettore risultante.

regola del parallelogramma, dimostrazione, formula e calcolo

Abbiamo costruito due triangoli congruenti i cui lati sono i due vettori da sommare e il vettore risultante che è anche la diagonale del parallelogramma.

Per calcolare il modulo del vettore somma si può ricorrere in due modi. Si può usare la formula per calcolare la diagonale del parallelogramma oppure si può ricavare l’angolo OBC e utilizzare il teorema del coseno sul triangolo OCB.

Per calcolare l’ampiezza dell’angolo OBC bisogna conoscere e ricordare alcune proprietà del parallelogramma:

  • La somma degli angoli interni è di 360°:
    • AOB + ACB + OAC + OBC = 360°
  • Gli angli opposti sono congruenti: AOB = ACB e OAC = OBC

Poniamo il caso che i moduli dei vettori siano di 5,5 e 6,3 e che l’angolo compreso tra loro sia di 70°. Anche il suo angolo opposto nel parallelogramma è di 70 gradi e la loro somma sarà di 140°. Se togliamo questa somma all’angolo giro, otteniamo la somma degli altri due angoli:

  • 360° – (AOB + ACB) = OAC + OBC
    • 360° – 140° = 220°

Per ricavare l’ampiezza di ciascun angolo, dato che sono uguali, basterà dividere la loro somma per due.

  • OAC = OBC = 220° / 2 = 110°

Possiamo adesso ricavare il modulo della somma dei due vettori applicando la regola del coseno:

s = √(s12 + s22 – 2 ∙ s1 ∙ s2 ∙ cosOBC) = 9,7

Come mostra la figura, il calcolo è corretto.

calcolo somma vettori con la regola del parallelogramma

Tuttavia, si può notare che il modo più immediato per calcolare la somma di due vettori è il metodo punta-coda. Inoltre, in genere si conoscono già sia l’angolo compreso tra la code dei due vettori, somma delle loro inclinazioni, che l’angolo compreso tra la punta del primo vettore e la coda del secondo. Il metodo da scegliere dipenderà, comunque, dagli elementi conosciuti e da quelli incogniti.

Per ricavare il coseno di un angolo è sufficiente usare una calcolatrice scientifica. In genere, basta digitare il numero e poi premere il pulsante cos ma ci sono anche calcolatrici dove prima bisogna premere il tasto e poi digitare il numero. Si può fare la prova con l’angolo di 90 gradi il cui coseno è 0. Se il primo passaggio dà il risultato corretto allora si fa in quel modo altrimenti si procede con il secondo metodo.

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