Secondo teorema di Euclide

Il secondo teorema di Euclide è una delle regole riguardante i triangoli rettangoli e diche che il quadrato costruito sull’altezza relativa l’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha i lati della stessa misura delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Questa relazione permette di ricavare l’altezza relativa l’ipotenusa semplicemente calcolando la radice quadrata del prodotto delle proiezioni ortogonali dei cateti su di essa. Il teorema ci permette anche di capire come costruire un quadrato equivalente ad un rettangolo stabilito.

Anche il primo teorema di Euclide riguarda i triangoli rettangoli e dice che il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati la proiezione del primo cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa. Questo permette di dimostrare il teorema di Pitagora semplificando molti problemi di geometria e di misurazioni.

Dimostrazione del secondo teorema di Euclide

Disegniamo il triangolo rettangolo in modo che l’ipotenusa sia la base e disposta in maniera orizzontale. Dal suo vertice opposto tracciamo l’altezza relativa l’ipotenusa e disegniamo un quadrato che ha i lati congruenti l’altezza. Prolunghiamo l’altezza in modo da formare un rettangolo che ha il lato maggiore congruente la proiezione del cateto maggiore e il lato minore congruente la proiezione del cateto minore. All’interno del rettangolo costruiamo un quadrato che ha il lato congruente il lato minore del rettangolo. Infine, disegniamo il quadrato sul cateto la cui proiezione è stata usata per disegnare il rettangolo.

L'immagine mostra la costruzione del triangolo rettangolo e la dimostrazione del secondo teorema di Euclide

L’altezza relativa l’ipotenusa divide il triangolo in altri due triangoli rettangoli. se consideriamo quello dove sono state costruite le figure, possiamo osservare che il quadrato costruito su un cateto è uguale alla somma delle aree dl quadrato costruito sull’altezza dell’ipotenusa e il quadrato che ha i lati congruenti la proiezione ortogonale di quel cateto. Inoltre, per il primo criterio di Euclide, il quadrato costruito sul cateto è equivalente anche al rettangolo che ha i lati congruenti l’ipotenusa e la proiezione ortogonale di quel cateto su di essa. Il lato maggiore del rettangolo è infatti congruente l’ipotenusa del triangolo principale essendo la somma di segmenti congruenti, le proiezioni ortogonali dei cateti su di essa.

Se scriviamo un’equazione dove mettiamo in relazione le due somme per calcolare l’area del quadrato costruito sul cateto, possiamo dimostrare, applicando il primo principio di equivalenza, che il quadrato costruito sull’altezza relativa l’ipotenusa ha la stessa superficie del rettangolo che ha i lati della stessa misura delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Q2 = Q+Q1

Q2 = R + Q1

Q + Q1 = R + Q1

Q = R

Esercizio: Scrivi la formula per ricavare l’altezza di un triangolo rettangolo relativa l’ipotenusa conoscendo la misura delle proiezioni ortogonali dei cateti su di essa.

Costruzione di un quadrato partendo da un rettangolo equivalente

Dopo avere disegnato un rettangolo qualsiasi, possiamo costruire un quadrato equivalente procedendo in questo modo:

  • Prolunghiamo il lato maggiore del rettangolo in modo da avere un segmento congruente il lato minore;
  • Tracciamo un semicirconferenza il cui diametro è uguale alla somma del lato maggiore del rettangolo e il segmento congruente il suo lato minore;
  • Prolunghiamo il lato minore del rettangolo fino a fargli toccare la semicirconferenza e uniamo il loro punto di intersezione con gli estremi del diametro. Abbiamo disegnato un triangolo rettangolo perché l’angolo alla circonferenza formato dall’unione dei due estremi con il punto di intersezione è di 90 gradi.
  • Il diametro della semicirconferenza rappresenta anche l’ipotenusa del triangolo rettangolo. Costruendo il quadrato relativo la sua altezza, quest’ultimo sarà equivalente al rettangolo dato, come dice il secondo teorema di Euclide.