La somma degli angoli esterni di un poligono

La somma degli angoli esterni di un poligono

Quanto vale la somma degli angoli esterni di un poligono? Nel caso di un poligono convesso, che include i triangoli, i rettangoli, i pentagoni, la risposta è semplice: 360°. Ma come si dimostra?

Per angolo esterno di un poligono si intende quello adiacente al suo angolo interno, i cui lati si trovano sulle stesse rette. In questo caso l’angolo esterno giace sul prolungamento di uno dei due lati.

somma angoli esterni triangolo

Possiamo dimostrare quanto vale la somma degli angoli esterni di un poligono sapendo che la somma degli angoli interni si ricava contando il numero dei vertici, togliendone 2 e moltiplicando la differenza per 180°: 180° ∙ (n – 2).

Possiamo, inoltre notare che la somma di ogni angolo interno di un poligono e il relativo angolo esterno è sempre di 180°. Quindi moltiplicando il numero dei vertici per 180°, troviamo la somma totale degli angoli esterni con quelli interni: 180 ∙ n.

La somma degli angoli esterni del poligono si ricava facendo la somma totale degli angoli – la somma degli angoli interni. Semplificando: 180° ∙ n180° ∙ (n – 2) = 180 ∙ n180 ∙ n + 360° = 360°.

180 ∙ n e -180 ∙ n sono monomi opposti, si possono scrivere 180n e -180n, e quindi si annullano. Il risultato risulta essere sempre un angolo giro.

Vedi anche: Espressioni con i monomi e Le espressioni algebriche

Ma che dire della somma degli angoli esterni dei poligoni concavi? In questo caso non tutti gli angoli esterni sono adiacenti a quelli interni dato che il prolungamento di alcuni lati avviene all’interno del poligono; pertanto non è possibile ricorrere a questa formula.

somma angoli esterni poligono concavo
Esempio di poligono concavo. Alcuni suoi lati si possono prolungare soltanto al suo interno