Il valore assoluto, chiamato anche modulo, di un numero reale è una funzione matematica che ha come risultato lo stesso numero reale, se questi è maggiore o uguale a 0, oppure il suo opposto se questi è minore di 0.
\[ |x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases} \]Il valore assoluto di un numero è sempre maggiore o uguale a 0. Prendiamo ad esempio la funzione |10|. Abbiamo visto per definizione che essendo 10 maggiore di 0, il risultato del modulo è 10. Se invece abbiamo la funzione |-10|, -10 è minore di 0 e, per definizione, il risultato sarà -(-10) = 10. Pertanto, il modulo è una funzione pari per tutti i numeri reali.
Proprietà del valore assoluto
Come le varie operazioni matematiche, anche la funzione del valore assoluto gode di alcune proprietà molto utile per lavorare con i moduli senza considerare subito il risultato. Questo è importante specialmente quando abbiamo a che fare con le equazioni e le disequazioni contenenti moduli dove ad un certo punto potrebbe essere necessario considerare i casi in cui il numero o l'espressione algebrica contenuta nel modulo è minore di 0 o maggiore o uguale a 0.
Innanzitutto abbiamo visto che il valore assoluto può essere 0 o maggiore di 0. Dal punto di vista geometrico, |x| rappresenta la distanza di un punto sull'asse delle ascisse. Spesso si usa anche la notazione | x - y | per indicare la distanza tra due punti: dato che non può essere negativo qualunque siano x e y, l'espressione equivale a | y - x |.
La prima proprietà che consideriamo è il modulo della somma di due numeri. Essa è minore o uguale alla somma dei singoli moduli:
\[|x + y| \leq |x| + |y|\]Esempio: | -5 + 1 | = | -4 | = 4, mentre | -5 | + | 1 | = 5 + 1 = 6. Invece | 0 + 0 | = | 0 | è | 0 | = 0.
La seconda proprietà riguarda il valore assoluto del prodotto tra due numeri che è uguale al prodotto dei singoli moduli.
\[|xy| = |x||y|\]Esempio: | -5 ∙ 2 | = | -10 | = 10, mentre | -5 || 2 | = 5 ∙ 2 = 10.
Vediamo adesso un'altra proprietà chiamata disuguaglianza triangolare. Presi due numeri reali, diremo che il valore assoluto del primo è minore o uguale al secondo se e solo se è minore del secondo numero e maggiore del suo opposto.
\[ | x | \leq a \quad \iff \quad -a \leq x \leq a \]Infatti in questo caso abbiamo un sistema con due disequazioni in un'incognita:
\[ \begin{cases} x \leq a \\ -x \leq a \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq a \\ -a \leq x \end{cases} \implies -a \leq x \leq a \]Di conseguenza, se il modulo di un numero è maggiore o uguale ad un altro significa che è maggiore o uguale al secondo numero oppure è minore del suo opposto.
\[ | x | \geq a \quad \iff \quad x \leq -a \lor x \geq a \]Il modulo viene usato molto quando dobbiamo indicare che un numero è compreso tra due intervalli. In questo caso, spesso il valore assoluto della differenza tra due estremi deve essere minore o uguale ad un altro numero reale e da qui giungiamo alla conclusione che la nostra incognita deve essere compreso tra due intervalli.
\[ | x - x_{0} | \leq a \quad \iff \quad x_{0} -a \leq x \leq x_{0} + a \]