Gli angoli supplementari

Gli angoli supplementari sono due parti di piano delimitate da semirette la cui somma delle loro ampiezze dà come risultato un angolo piatto, di 180 gradi. I due angoli possono essere adiacenti, avendo un lato in comune e gli altri lati giacenti sulla stessa semiretta, oppure possono anche non essere vicini. L’importante è che la loro somma è uguale esattamente a 180°.

Un angolo viene sempre definito come la parte di un piano, o l’insieme dei punti del piano, delimitato da due semirette. Su queste semirette si trovano i lati dell’angolo indicati con l’inserimento dei loro estremi. Il punto di incontro tra i due lati, che determina l’origine dell’angolo, viene chiamato vertice. Se due angoli hanno un lato e il vertice in comune mentre gli altri due lati si trovano sulla stessa semiretta ma in direzioni opposte si dicono adiacenti.

L'immagine mostra un esempio di angoli supplementari

Problemi con gli angoli supplementari

Un problema abbastanza semplice da risolvere consiste nel dimostrare che gli angoli supplementari di angoli congruenti, cioè della stessa ampiezza, sono anch’essi congruenti. La dimostrazione completa si trova in questo articolo, tuttavia possiamo riassumere questo argomento dicendo che entrambi gli angoli sono il risultato della differenza tra angoli congruenti, l’angolo piatto e quelli noti.

Un secondo problema consiste nel ricavare la misura di un angolo supplementare ad uno già stabilito. Anche questo esercizio si risolva con una semplice sottrazione, togliendo all’angolo piatto quello già noto. Ad esempio, abbiamo due angoli adiacenti di cui uno (δ) misura 70°. Quanto misura l’altro angolo (γ)?

Dato che due angoli adiacenti sono sempre supplementari, basterà sottrarre a 180° il valore del primo angolo: γ = 180° – δ = 180° – 70° = 110°.

Prova adesso a risolvere questi esercizi:

Vediamo un altro esempio: Ricaviamo il valore di due angoli adiacenti sapendo che uno è il triplo dell’altro.

Per risolvere questo problema dobbiamo capire il testo. Leggendolo capiamo che il secondo angolo è il triplo del primo e che la loro somma dà 180 gradi. Useremo una semplice equazione per risolverlo, riportando gli elementi incogniti al primo membro e il risultato della loro somma al secondo membro. Poi applicheremo i principi di equivalenza.

x + 3x = 180°

4x = 180°

δ = x = 180° /4 = 45°

γ = 3δ = 3 ∙ 45° = 135°

Abbiamo assegnato al primo angolo la variabile x e, dato che il secondo angolo è uguale al suo triplo, gli abbiamo dato il valore di 3x. L’incognita è una sola, che rappresenta il primo angolo. Per ricavare il valore del secondo angolo basta triplicare il primo. Se sommiamo i risultati ottenuti notiamo che il risultato è 180 gradi.

Esercizi

Prova a risolvere questi esercizi relativi gli angoli supplementari.

  • Due angoli misurano rispettivamente 15° e 155°. Sono supplementari?
  • Un angolo di 80°40′ è adiacente con un altro angolo di misura ignota. Ricavare il valore del secondo angolo. (Per risolvere questo problema bisogna sapere fare le operazioni con il sistema sessagesimale)
  • Abbiamo due angoli adiacenti. Se il primo misura 90c, quanto è ampio il suo supplementare? (Per risolvere questo esercizio bisogna conoscere il sistema centesimale).
  • Quali sono le misure di due angoli sapendo che uno è il supplementare dell’altro ed è un quarto dell’altro?