Le espressioni con frazioni e potenze sono insiemi di operazioni matematiche che coinvolgono potenze di frazioni. E’ importante sapere come procedere per risolverli, in quanto agire nel modo sbagliato porta a risultati sbagliati.
Le frazioni sono sempre un modo diverso per rappresentare una divisione. Invece di usare il segno della divisione si tende a separare i due numeri con una breve linea e scrivere il dividendo sopra la linea di frazione e il divisore sotto la linea. A meno che il loro rapporto non è un numero senza resto, non si tende a risolvere la divisione ma lasciare scritta la frazione.
Le potenze sono, invece, delle moltiplicazioni ripetute di uno stesso numero. Una potenza si indica scrivendo il numero che desideriamo moltiplicare, chiamato base, e un altro numero scritto piccolo in alto a destra che indica il numero di ripetizioni e che chiamiamo esponente.
Nel caso delle frazioni, le potenze vengono indicate in due modi. Se scriviamo una frazione tra parentesi e in alto a destra inseriamo un numero, quello sarà l’esponente sia del numeratore che del denominatore della frazione. Altrimenti inseriamo esponenti diversi per ogni termine della frazione.
Come si risolvono le espressioni con frazioni e potenze
Per risolvere le espressioni che coinvolgono le frazioni con potenze, è necessario conoscere le loro proprietà. Le proprietà delle frazioni con potenze sono simili a quelle delle potenze di numeri interi. E’ stato scritto un articolo dedicato alle proprietà delle potenze di frazioni, ma qui verrà data una panoramica.
Il prodotto di potenze che hanno la stessa base ma con frazioni che hanno esponente diverso è uguale ad un’altra potenza che ha la stessa base ma come esponente la somma degli esponenti delle potenze da moltiplicare.
Per risolvere il quoziente di potenze che hanno la stessa base ma con esponente diverso, basterà scrivere un’altra potenza che ha sempre la stessa base e sottrarre il secondo esponente al primo.
La stessa cosa vale per il prodotto e il quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente. In questo caso la potenza con la frazione risultante avrà sempre lo stesso esponente ma come base avrà la somma delle frazioni che sono le basi delle varie potenze. Questo significa trovare il minimo comune multiplo dei denominatori, dividerlo per i denominatori e moltiplicare quoziente ottenuto con i rispettivi denominatori. A quel punto basterà sommare o sottrarre i vari risultati ottenuti.
Per risolvere la potenze di una potenza con all’interno una frazione si opererà allo stesso modo dei numeri interi: la base della potenza risultante avrà la stessa base di quella iniziale e avrà come esponente il prodotto degli esponenti della potenza iniziale.
Per la dimostrazione di tutti i casi si consiglia di leggere l’articolo dedicato alle proprietà delle potenze con frazioni indicato all’inizio del sottotitolo. Nel caso di frazioni che hanno esponente diverso e base diversa, non è possibile applicare le proprietà del prodotto e del quoziente direttamente ma bisogna prima risolvere le singole potenze e poi applicare le normali operazioni matematiche tra frazioni.
Quando abbiamo espressioni di frazioni con potenze, è necessario prima applicare le proprietà per semplificare l’espressione e poi applicare le regole di priorità delle espressioni matematiche. Le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza e poi si applicano la somma e la differenza. Se ci sono parentesi, quelle tonde hanno la precedenza, poi si risolvono le parentesi quadre e infine le graffe.
