I numeri decimali sono tutti i numeri che hanno delle cifre decimali, cioè cifre minori di 1 che seguono il numero intero dopo la virgola. Sono quindi composti da una parte intera che viene prima della virgola e da una parte decimale.
Un numero decimale si chiama finito (come 2,16) quando è formato da un numero determinato di cifre decimali mentre si chiama periodico quando alcune sue cifre si ripetono all’infinito. Ci sono casi in cui una o più cifre periodiche appaiono subito dopo la virgola (come 3,666666….) oppure casi in cui vengono dopo alcune cifre non periodiche (per esempio 2,13484848…). Nel primo caso si parla di numeri decimali periodici semplici mentre nel secondo caso parliamo di periodici misti e il gruppo di cifre che non si ripete viene chiamato antiperiodo. Il gruppo di cifre che si ripete viene chiamato periodo e viene indicato con una linea posta sopra di esse. Invece, quando si scrive sul computer, non è possibile inserire le cifre periodiche con la tastiera. Su Word è disponibile la funzione dopo avere cliccato su Inserisci in alto e poi su Equazione in alto a destra.
I numeri decimali sono anche la somma della loro parte intera con quella decimale: ciascuna cifra decimale rappresenta la divisione tra un numero intero e una potenza di 10 il cui esponente vale tante cifre dista quella considerata. Ad esempio: 3,26 è data dalla somma di 3 + 2 diviso 10 + 6 diviso 102. Infatti il risultato sarà 3 + 0,2 + 0,06 che è uguale a 3,26. Infatti quando moltiplichiamo un numero per una potenza del 10 bisogna aggiungergli a destra dei zeri quanti sono quelli dopo l’1 mentre quando lo dividiamo per 10, 100, 1000,….. dobbiamo aggiungerglieli a sinistra.
Trasformare le frazioni in numeri decimali
Possiamo trasformare una frazione in un numero decimale e viceversa. Nel primo caso basterà dividere il numeratore con il denominatore. Se man mano che procediamo otteniamo un resto uguale a 0, abbiamo ottenuto un numero decimale finito. Se il resto non dà 0 la divisione continuerà fino a quando non otterremo un resto già trovato in precedenza o anche più di uno. A quel punto nel risultato si ripeteranno sempre le stesse cifre decimali che costituiranno la parte periodica.
Possiamo già stabilire che tipo di numero decimale avremo da una frazione scomponendo il denominatore in fattori primi:
- Se il denominatore è composto soltanto da potenze di 2 o potenze di 5, otterremo sempre un numero decimale finito;
- Se i fattori del denominatore sono diversi dalle potenze di 2 o di 5, il numero decimale generato sarà periodico semplice.
- Quando nel denominatore appaiono sia fattori del primo gruppo che del secondo (come esempio 53 ∙ 7), allora la frazione genererà un numero periodico misto.
Trasformare un numero decimale finito o periodico in una frazione
Il metodo per trasformare un numero decimale in una frazione varia se si tratta di un numero finito o periodico. Nel primo caso, basterà sommare la sua parte intera con le frazioni dei suoi decimali. Riconsideriamo il numero 3,26: per trasformarlo in un numero intero dovremmo moltiplicarlo per 100. Quindi è dato dalla rapporto tra 326 e 100. La dimostrazione sotto dimostra che è proprio così.
Nel caso di numeri periodici si segue una regola diversa per trasformarli in frazioni. Al numeratore verrà posta la differenza tra il numero scritto senza virgola e la sua parte periodica mentre al denominatore scriveremo tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre non periodiche. Vediamo una dimostrazione considerando la seguente equazione: a = 2,15278. Se vogliamo spostare la virgola dopo l’antiperiodo dovremo moltiplicarla per 100.
102a = 215,278
Adesso moltiplichiamo il nuovo numero per la potenza del 10 con esponente pari al numero di cifre del periodo.
103 ∙ 102a = 215278,278
Facciamo la differenza tra i due risultati e ricaviamo a:
103 ∙ 102a – 102a = 215278,278 – 215,278
Nell’espressione algebrica a sinistra estrapoliamo il fattore comune mentre nell’espressione numerica a destra applichiamo la proprietà invariantiva della sottrazione e togliamo la parte decimale.
(103 – 1) ∙ 102a = 215278 – 215
Da questa dimostrazione possiamo generalizzare questa regola: per trasformare un numero periodico in una frazione scriveremo al numeratore la differenza tra tutto il numero senza la virgola e le sue cifre non periodiche mentre al denominatore inseriremo tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante le cifre dell’antiperiodo. La frazione può anche essere semplificata.
