La retta passante per due punti

La retta passante per due punti è una linea infinita che attraversa e interseca due punti del piano. La parte di linea compresa tra i due punti viene chiamata segmento mentre la restante parte che non finisce mai viene definita semiretta. Se si è in gradi di risalire alla loro posizione è possibile calcolare la lunghezza del segmento e l’inclinazione della retta.

Per risalire alla pendenza di una retta che passa per due punti e alla posizione di tutti i suoi punti è necessario determinare e conoscere la posizione di almeno due dei suoi punti e usarli come riferimento per capire la relazione che c’è tra loro. A tale scopo si utilizza il piano cartesiano, uno strumento di riferimento caratterizzato da due assi perpendicolari tra loro, uno di direzione orizzontale e chiamato asse delle ascisse e l’altro verticale e chiamato asse delle ordinate, il cui punto di incontro, chiamato origine, ha la posizione 0. Sui due assi vengono inserite dei punti numerati usati come unità di misura per le distanze dei punti rispetto gli assi cartesiani.

Per stabilire la posizione di un punto all’interno del piano cartesiano prendiamo come riferimento due misure: la sua distanza dall’asse verticale, indicata con la lettera x, e la sua distanza dall’asse orizzontale che viene indicata con la lettera y. Quando indichiamo le coordinate di un punto scriviamo il suo nome e le sue coordinate cartesiano tra parentesi: P (x , y).

Quando due punti di una retta si trovano alla stessa ascissa o alla stessa ordinata, per calcolare la loro distanza basterà calcolare il valore assoluto della differenza tra le coordinate con valore diverso. In caso contrario, possiamo costruire un triangolo rettangolo unendo i due punti e applicare il teorema di Pitagora considerando la distanza dei due punti come ipotenusa.

Illustrazione che mostra come si calcola la distanza tra due punti qualsiasi in un piano cartesiano

Equazione di una retta passante per due punti

Conoscendo la posizione di due punti del piano, possiamo tranquillamente risalire all’equazione che permette di disegnare e costruire la retta che li attraversa.

Il rapporto tra la differenza delle distanze orizzontali di due punti (chiamate anche ordinate) e le loro distanze verticali (chiamate anche ascisse) determina il coefficiente angolare di tale retta cioè quando aumenta la distanza sull’asse verticale di un punto se questi si sposta di un’unità sull’asse orizzontale. La formula è:

m = (y1 – y2) / (x1 – x2)

Nel caso di una retta che passa per l’origine degli assi cartesiani, possiamo utilizzare il punto 0 come uno dei due punti della retta. Possiamo così utilizzare le coordinate di un solo punto e il coefficiente angolare sarà determinato dal rapporto tra l’ordinata e l’ascissa di tale punto: m = y/x. Tramite la formula inversa otteniamo l’equazione della retta:

y = mx

Possiamo notare la relazione che c’è tra le due coordinate utilizzando il programma online Geogebra. Aprendo il programma Classico o su Geometria, possiamo inserire tale formula nella sezione Algebra, richiamabile nella colonna a sinistra. Prima però, dalla sezione Strumenti, dobbiamo cliccare su Altri, in fondo, e Slider. Inseriamo così un riferimento al coefficiente angolare che ci permette di modificare il valore di m. Nella dimostrazione incorporata sotto è stato inserito un incremento di 0,5. Notiamo che il programma mostra sia le coordinate dei due punti della retta che la lunghezza del segmento formato da essi. Per chiudere la colonna con i comandi basta cliccare sul pulsante colorato in viola.

Se la retta che passa per due punti non attraversa l’origine si tratta di una parallela a quest’ultima. E’ necessario calcolare la distanza tra le due rette caratterizzato dalla distanza y della retta rispetto l’origine che viene chiamata q. L’equazione diventa:

y = mx + q

Esercizio: Utilizzando la dimostrazione sopra o un nuovo file su Geogebra, creare l’equazione delle retta parallela a quella passante per due punti. E’ necessario creare un riferimento per l’ordinata all’origine così come fatto per il coefficiente angolare.

Un altro modo per ricavare l’equazione di una retta è quella di utilizzare la formula generica per calcolare l’equazione di una retta:

y – yp = m (x – xp)

Al posto del coefficiente angolare, scriviamo la sua formula esplicita facendo riferimento alle coordinate dei due punti:

L'immagine mostra come si calcola l'equazione di una retta passante per due punti

L’equazione finale ci permette di risalire alle coordinate dei punti di una retta qualsiasi, anche non passante per l’origine, conoscendo le coordinate di almeno due dei suoi punti.

Dimostrazione

Dobbiamo calcolare l’equazione di una retta che passa per i punti A (5, 2) e B (6, 3).

Riscriviamo l’equazione mostrata sopra sostituendo le coordinate di A e B sulle rispettive posizioni. Risolviamo l’equazione applicando i principi di equivalenza separando la variabile dell’ordinata rispetto tutto il resto. La formula ci permette di ricavare tutte le ordinate dei punti della retta in base al valore della loro ascissa. Su Geogebra, o su un foglio, possiamo verificare che la dimostrazione è corretta.

L'immagine mostra la dimostrazione per ricavare l'equazione di una retta che passa per due punti di coordinate note

Esercizio: Calcolare l’equazione di una retta passante per i punti A, di coordinate x = 2 e y = – 8, e B, di coordinate x = 4 e y = -13. Verificare che l’esercizio sia corretto verificando il coefficiente angolare e la distanza all’origine della retta.


Se vuoi saperne di più su questi argomenti, leggi il mio libro sulla matematica.