Trapezio

Il trapezio è una figura geometrica composta da quattro lati, di cui due hanno la stessa inclinazione mentre gli altri due possono avere qualsiasi tipo di inclinazione ma non sono mai paralleli tra loro. Non è un parallelogramma, poligono formato da coppie di lati paralleli tra loro ma è comunque un quadrilatero, figura geometrica formata da quattro lati.

Un trapezio è come se fosse formato dalla combinazione di più figure geometriche tra cui almeno un triangolo rettangolo composto da un lato obliquo del trapezio, dalla distanza tra un vertice del lato obliquo al lato opposto e dalla distanza tra lo proiezione ortogonale di tale vertice con l’altro vertice del lato obliquo.

Quando due lati di un poligono hanno la stessa inclinazione, o pendenza, si dicono paralleli: questo significa che le rette che passano sopra quei lati non si toccheranno mai. Il lato parallelo più lungo di un trapezio viene chiamato base maggiore mentre quello più corto si chiama base minore. I due lati non paralleli vengono definiti lati obliqui mentre il segmento condotto da uno degli estremi della base minore su quella maggiore rappresenta l’altezza del trapezio.

Dato che due lati dei trapezi sono paralleli, a questa figura geometrica si applica il criterio di parallelismo: gli angoli che questi due lati formano con ciascun lato obbliquo, essendo adiacenti, sono anche supplementari, la loro somma forma sempre un angolo di 180 gradi.

Caratteristiche e proprietà dei trapezi

Proprio come i triangoli, i trapezi possono avere nomi diversi a seconda di alcune caratteristiche. Se un trapezio ha un solo lato obbliquo mentre l’altro cade perpendicolarmente sulle due basi viene chiamato rettangolo mentre se i suoi lati obliqui hanno la stessa lunghezza viene definito isoscele.

Un trapezio isoscele è come se fosse formato da un rettangolo e due triangoli rettangoli congruenti, cioè sovrapponibili punto per punto e con tutti gli elementi della stessa grandezza. Questo significa che gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.

Per dimostrare questo teorema basta tracciare le altezze al trapezio isoscele e fare le dovute considerazioni riguardo il lato obliquo e gli angoli adiacenti alla base maggiore dei due triangoli. Dato che gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari per il criterio di parallelismo visto sopra, gli angoli adiacenti la base minore sono congruenti perché la loro ampiezza è uguale alla differenza di angoli congruenti: l’angolo piatto e ciascun angolo che la base maggiore forma con i lati obliqui.

L'illustrazione mostra un trapezio isoscele per la dimostrazione della congruenza degli angoli adiacenti alle basi
Nell’immagine notiamo che le ipotenuse dei due triangoli rettangoli sono congruenti perché sono rappresentate dai lati obliqui del trapezio isoscele e che anche le altezze dei due triangoli hanno la stessa misura.

Se tracciamo le diagonali al trapezio isoscele costruiamo due triangoli che hanno in comune una delle due basi, gli angoli adiacenti la base congruenti e i lati obliqui congruenti. Questo significa che i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e che le diagonali, che rappresentano il terzo lato dei due triangoli, hanno la stessa lunghezza.

L'immagine mostra la congruenza delle diagonali di un trapezio isoscele
Esempio della dimostrazione sulla congruenza delle diagonali. I due triangoli hanno congruenti i lati obliqui, il lato in comune e gli angoli adiacenti a una delle basi.

Formule del trapezio

Le formule che stiamo considerando valgono per tutti i trapezi, come vedremo nelle dimostrazioni che seguono. L’area di un trapezio è sempre uguale al prodotto tra la semisomma delle due basi e l’altezza. Possiamo capirlo ricavando le formule delle superfici dei poligoni che lo formano e semplificandole.

L’area di un trapezio rettangolo è dato dalla somma delle superfici del rettangolo, o quadrato, e del triangolo di cui è composto. La lunghezza del cateto minore del triangolo è uguale alla differenza tra le due basi del trapezio. Possiamo sostituire tali informazioni alla formula dell’area del triangolo e fare le dovute semplificazioni

L'immagine mostra un trapezio rettangolo per ricavare le sue formule

A = bmin ∙ h + HB/2 ∙ h

A = (bmin + HB/2) ∙ h

A = (2bmin + HB)/2 ∙ h

A = (2bmin + bmaxbmin)/2 ∙ h

A = (bmax + bmin)/2 ∙ h

Nella risoluzione dell’espressione algebrica, nel secondo passaggio abbiamo raccolto il fattore comune ai due monomi, cioè l’altezza del trapezio; nel terzo passaggio abbiamo applicato la somma tra due frazioni e nel quarto passaggio abbiamo sostituito al nome del cateto minore del triangolo la formula ricavata sopra.

La stessa formula si ricava in un trapezio isoscele e in quello scaleno, la cui area è uguale alla somma delle superfici del rettangolo e dei due triangoli. In questo caso, la lunghezza del cateto di uno dei triangoli rettangoli è uguale alla differenza tra la lunghezza delle due basi e del cateto minore dell’altro triangolo.

L'immagine mostra un trapezio qualsiasi usato per ricavare le sue formule

A = AH/2 ∙ h + bmin ∙ h + KB/2 ∙ h

A = (AH/2 + bmin + KB/2) ∙ h

A = (AH + 2bmin + KB)/2 ∙ h

A = (bmaxbmin – KB + 2bmin + KB)/2 ∙ h

A = (bmax + bmin)/2 ∙ h

A questo punto, possiamo ricavare la lunghezza delle basi o dell’altezza di un trapezio semplicemente applicando le formule inverse di quella dell’area tramite i principi di equivalenza.

Ciascuna base del trapezio è uguale alla differenza tra il rapporto del doppio dell’area e l’altra base con l’altezza; l’altezza è uguale al rapporto tra il doppio dell’area con la somma delle due basi.

bmax = 2A/bmin ∙ h

bmin = 2A/bmax ∙ h

h = 2A/(bmax + bmin)

Per calcolare la lunghezza delle diagonali di un trapezio il metodo più immediato è quello di applicare il teorema del coseno, usato in trigonometria che permette di ricavare la misura di un lato di un triangolo conoscendo la lunghezza degli altri due lati e l’ampiezza dell’angolo compreso tra di loro.