Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è un triangolo che è ha tutti e tre i lati uguali e tutti e tre gli angoli di 60°.

L’affermazione riguardante gli angoli uguali deriva dai teoremi del triangolo isoscele, secondo cui gli angoli che i due lati uguali formano con il terzo lato, detto base, sono uguali. In un triangolo equilatero, ciascun lato si può considerare come base degli altri due lati e di conseguenza il triangolo risulta equiangolo.

Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°, gli angoli di un triangolo equilatero saranno sempre di 180°/3, cioè 60°.

Vediamo anche che l’altezza del triangolo equilatero è pure:

  • Una bisettrice, perché divide l’angolo in due angoli uguali di 30° ciascuno;
  • Una mediana, perché collega il vertice C al punto medio del lato opposto;
  • Un asse, perché è perpendicolare al lato BC e al tempo stesso lo divide in 2.

Di conseguenza, l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro coincidono.

Vedi anche: I triangoli

triangolo equilatero

Avendone data la definizione, siamo in grado di ricavare le varie formule del triangolo equilatero.

Sappiamo già che l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semiprodotto della base per l’altezza, cioè: A = (b x h)/2. Nel caso dei triangoli equilateri, ci basta avere un solo dato.

Poniamo il caso di conoscere il lato. Possiamo notare che l’altezza divide il nostro triangolo in due triangoli rettangoli. Possiamo perciò ricavare la formula dell’altezza mediante il teorema di Pitagora:

Formula dell'altezza dei triangoli equilateri

Da qui possiamo anche ricavare la formula del lato conoscendo soltanto l’altezza:

Formula del lato conoscendo l'altezza di un triangolo equilatero

Grazia al teorema di Pitagora, siamo in grado di ricavare la formula dell’area conoscendo soltanto la lunghezza del lato o dell’altezza. Basta sostituire le formule trovate alla misura sconosciuta:

Formula dell'area di un triangolo equilatero conoscendo il lato
Formula dell'area del triangolo equilatero conoscendo l'altezza

Da qui possiamo anche ricavare la formula del lato o dell’altezza conoscendo soltanto l’area del triangolo equilatero:

Triangolo equilatero: formula del lato data l'area
Triangolo equilatero: formula dell'alterzza data l'area

Il perimetro di un triangolo si trova sommando i tre lati: in questo caso basta moltiplicare il lato per 3. Ma possiamo trovare la formula del perimetro conoscendo soltanto l’altezza. Di conseguenza, possiamo ricavare la formula dell’altezza conoscendo soltanto il perimetro.

Formule perimetro triangolo equilatero
Formula altezza triangoli equilateri dato il perimetro.

Possiamo anche ricavare il lato, l’altezza e l’area conoscendo il raggio della circonferenza circoscritta. Per maggiori informazioni, vedi: Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.

Prova adesso a risolvere questi esercizi:

  1. Il lato di un triangolo equilatero misura 6 cm. Quanto vale la sua area?
  2. Il perimetro di un triangolo equilatero è di 30 cm. Ricavare il lato, l’altezza e l’area.