Il triangolo equilatero è una figura piana formata da tre lati con la stessa lunghezza e che ha gli angoli interni congruenti e ampi di 60°.
Un triangolo generico è sempre un poligono formato da tre lati e tre angoli. A seconda di alcune sue caratteristiche può avere nomi diversi: se ha un angolo interno di 90° viene definito triangolo rettangolo, se ha un angolo interno con ampiezza maggiore di 90 gradi viene definito ottusangolo mentre se tutti i suoi angoli sono minori di un angolo retto è chiamato acutangolo.
Se un triangolo ha due lati della stessa misura viene definito isoscele: questa sua caratteristica fa in modo che anche i due angoli che i due lati formano con il terzo sono congruenti.
Caratteristiche e proprietà del triangolo equilatero
Il triangolo equilatero è un tipo particolare del triangolo isoscele, caratterizzato dal fatto che tutti e tre gli angoli interni e tutti e tre i lati siano congruenti tra loro. Ciascun lato di questo triangolo può essere considerato come la base degli altri due lati e di conseguenza il triangolo risulta equiangolo.
Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°, gli angoli di un triangolo equilatero saranno sempre pari ad un terzo dell’angolo piatto, cioè 60 gradi.
L’altezza di un triangolo equilatero ha diverse caratteristiche e assolve anche le funzioni di altri elementi dei triangoli. Ciascuna altezza è anche la bisettrice che divide ciascun angolo interno in due angoli di 30°, la mediana che collega il vertice da cui parte al punto medio del suo lato opposto e l’asse di quel lato che cade perpendicolarmente su di esso e lo divide in due parti uguali.
Di conseguenza, l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro coincidono.
– Vedi anche: I triangoli
Formule
Avendone data la definizione, siamo in grado di ricavare le varie formule del triangolo equilatero. Sappiamo già che l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semiprodotto della base per l’altezza, cioè:
A = (b x h) / 2.
Nel caso dei triangoli equilateri, ci basta avere un solo dato, ad esempio la misura dei suoi lati. Possiamo notare che l’altezza divide il nostro triangolo in due triangoli rettangoli; possiamo perciò ricavare la formula dell’altezza mediante il teorema di Pitagora e notare che l’altezza è uguale al prodotto della metà di un lato del triangolo con la radice quadrata di 3.
Da qui possiamo anche ricavare la formula inversa per calcolare la misura del lato di un triangolo equilatero conoscendo soltanto l’altezza applicando il secondo principio di equivalenza. Scopriamo che la misura del lato di un triangolo equilatero si ricava facendo il rapporto tra il doppio dell’altezza e la radice di 3.
Grazia al teorema di Pitagora, siamo in grado di ricavare la formula dell’area conoscendo soltanto la lunghezza del lato o dell’altezza. Basta sostituire le formule trovate alla misura sconosciuta. L’area dei triangoli equilateri è uguale:
- Al prodotto tra la radice di 3 con un quarto del quadrato del suo lato;
- Al rapporto tra il quadrato dell’altezza con la radice di 3.
Da qui possiamo anche ricavare la formula del lato o dell’altezza di un triangolo equilatero conoscendo soltanto il valore della sua superficie.
- Il lato è uguale al doppio prodotto tra il rapporto della radice dell’area e la radice alla quarta di 3;
- L’altezza è uguale al prodotto tra la radice quadrata dell’area e la radice alla quarta di 3.
Il perimetro di un triangolo si trova sommando i tre lati: in questo caso basta moltiplicare il lato per 3. Ma possiamo trovare la formula del perimetro del triangolo equilatero conoscendo soltanto l’altezza. Di conseguenza, possiamo ricavare la formula dell’altezza conoscendo soltanto il perimetro applicando di nuovo i principi di equivalenza.
- Il perimetro è uguale al rapporto tra l’altezza moltiplicata 6 volte e la radice di 3;
- L’altezza si ricava moltiplicando il perimetro con il rapporto tra la radice di 3 con 6.
Possiamo anche ricavare il lato, l’altezza e l’area conoscendo il raggio della circonferenza circoscritta. Per maggiori informazioni, vedi: Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.
Esercizi sui triangoli equilateri
Prova adesso a risolvere questi esercizi:
- Il lato di un triangolo equilatero misura 6 cm. Quanto vale la sua area?
- Se la sua altezza è uguale a 20 cm, quanto misura il suo lato?
- Il perimetro di un triangolo equilatero è di 30 cm. Ricavare il lato, l’altezza e l’area.
- Fare la stessa cosa su un triangolo inscritto in una circonferenza il cui raggio è uguale a 10 cm.