Gli angoli

Gli angoli sono una delle figure geometriche più importanti e ci permettono di definire altri enti geometrici e di misurare l’inclinazione e la rotazione di un oggetto rispetto un’altra figura di riferimento.

Un angolo viene definito come una parte di piano delimitata da due semirette. Quando queste si incontrano in un punto, dividono il piano in due parti. La parte interna alle semirette viene chiamata angolo convesso, mentre la parte esterna angolo concavo. La parte interna del piano risulta essere sempre minore rispetto alla parte esterna; quando le due parti hanno la stessa ampiezza, i due angoli sono uguali e si definiscono piatti.

I lati dell’angolo hanno una lunghezza infinita a meno che non si uniscono tra loro (formando dei poligoni) o siano uniti tramite un arco. Quando indichiamo l’estremo finale (come in figura), allora l’angolo sarà formato da due segmenti e il suo nome viene scritto indicando i tre punti con il nome del vertice scritto in centro: ad esempio AÔB e un angolo che ha come estremi i punti A e B e come vertice il punto O.

Gli angoli

Sia l’arco all’interno che quello esterno ai due segmenti rappresentano un angolo. L’angolo indicato in blu è chiamato convesso, mentre quello in rosso angolo concavo. Si può ottenere un altro angolo anche prolungando le due semirette, ottenendo così degli angoli opposti al vertice della stessa ampiezza.

Angoli opposti al vertice

Nella figura sopra, gli angoli α e α’, come anche β e β’, sono opposti al vertice a coppia. Essendo nati dal prolungamento delle due semirette  α’ è uguale a α e β’ è uguale a β. È come se gli angoli fossero stati specchiati.

Tipi di angoli

Alcuni tipi di angoli hanno un nome specifico a seconda della loro ampiezza, la quale viene misurata tramite un goniometro:

  • L’angolo retto misura 90°;
  • L’angolo acuto è minore di 90° mentre quello ottuso è più grande di 90°;
  • L’angolo piatto è di 180° e le due semirette, o i due segmenti, sono adiacenti;
  • L’angolo giro è di 360° e le due semirette, o i lati, sono sovrapposti;

Un angolo è anche la rotazione che una semiretta fa intorno al suo vertice fino a congiungersi con la seconda semiretta. Questa definizione permette di avere angoli maggiori di 360 gradi perché la semiretta può fare più di un giro prima di sovrapporsi alla seconda semiretta.

L'immagine mostra un esempio di angolo retto, piatto, giro, acuto e ottuso.

Una coppia di angoli, sommati tra loro, possono anche essere chiamati:

  • Complementari, se la loro somma è uguale a 90°;
  • Supplementari, quando la loro somma fa 180°;
  • Esplementari, se sommati formano un angolo di 360°
L'immagine mostra un esempio di angoli complementari, supplementari e esplementari.

Per trovare il complementare di un angolo, bisogna applicare la formula inversa, cioè bisogna togliere l’angolo noto a 90 gradi. Ad esempio, il complementare di 50° è uguale a 90°-50°, cioè 40°. La stessa cosa vale per gli angoli supplementari ed esplementari.

La somma degli angoli interni di un poligono è sempre costante e dipende dal numero dei suoi lati. Per calcolare tale somma basta moltiplicare togliere due lati al loro numero totale e moltiplicarlo per 180 gradi. In questo articolo puoi vedere la dimostrazione in modo semplice; ecco perché sappiamo che la somma degli angoli interni dei rettangoli, dei quadrati e di tutti i parallelogrammi è di 360 gradi:

180° ∙ (4-2) = 180° ∙ 2 = 360

Esercizi

  • Calcola il complementare di un angolo di 15°, di 30°, di 35°, di 87° e di 2,3°;
  • Calcola il supplementare di 10°, 130°, 170° e di 25,81°;
  • Calcola l’esplementare di 360°, 0°, 200° e di 175,15;
  • Esiste il supplementare di un angolo giro?
  • Esiste il complementare di un angolo di 89 gradi?
  • Esiste l’esplementare di un angolo di 380 gradi centesimali? (vedi sotto)
  • Calcola la somma degli angoli interni di un pentagono e di un ottagono.

Come si misurano gli angoli

Per misurare gli angoli si usa come unità di misura il grado, che si esprime con il simbolo ° dopo il valore. Il grado viene definito come la trecentosessantesima (360a) parte di un angolo giro; è come se l’angolo giro venisse tagliato in 360 parti e che ciascuna parte rappresenti un grado.

I sottomultipli del grado sono il primo, espresso con il simbolo ‘, e il secondo, indicato con ”.

  • 1 grado è uguale a 60 primi (1° = 60′): il grado viene diviso in 60 parti.
  • 1 primo è uguale a 60 secondi (1′ = 60”): il primo viene diviso in 60 parti

Ne consegue che 1 grado è uguale a 3600” (1° = 60′ = 60′ x 60” = 3600).

Quello indicato è il sistema sessagesimale, ma non è l’unico. E’, tuttavia, il sistema utilizzato nei primi anni scolastici. Un alto sistema di misura degli angoli è il radiante. In questo caso l’angolo giro ha la stessa misura del rapporto tra la misura della circonferenza che forma e il suo raggio, cioè due volta pi greco, 2π. Questo significa che l’angolo piatto, che è uguale alla metà dell’angolo giro sarà uguale a π; l’angolo retto è uguale alla sua metà, cioè π/2.

Il sistema più semplice per misurare gli angoli è quello centesimale e pone l’angolo retto uguale a 100 gradi centesimali, cioè 100c. Si immagina l’angolo retto diviso in 100 parti uguali e che un grado sia uguale a 1/100 dell’angolo retto. L’angolo piatto e l’angolo giro sono quindi multipli di 100 e misurano rispettivamente 200c e 400c

Per saperne di più vedi anche Le unità di misura degli angoli e la loro conversione