Il circocentro di un triangolo qualsiasi è il punto in cui si incontrano gli assi dei suoi tre lati, cioè le rette perpendicolari che passano per il punto medio di ogni suo lato. Questo punto si troverà all’interno di un triangolo acutangolo, esterno ad un triangolo ottusangolo e coincidente con il punto medio dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Il punto di intersezione degli assi di un triangolo è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè che ha i tre vertici come suoi punti. Il raggio di questa circonferenza è uguale alla distanza tra il suo centro e ogni vertice del triangolo.
Se si disegnano le rette parallele dei lati del triangolo sui punti medi del lato opposto si costruirà un triangolo (disegnato in rosso nella figura sotto) il cui ortocentro coinciderà con il circocentro del nostro triangolo.
Circocentro di un triangolo e il teorema dei seni
La circonferenza che ha tra i suoi punti i vertici di un triangolo ci permette di ricavare delle formule particolari per risolvere i problemi relativi ai triangoli qualsiasi, avendo a disposizione soltanto tre elementi di esso che siano due lati e un angolo oppure un lato e due angoli.
Innanzitutto, disegniamo un triangolo qualsiasi e costruiamo tracciando gli assi, la circonferenza che passa tra i suoi vertici. Possiamo fare questo utilizzando le squadrette e un compasso.
A questo punto tracciamo il diametro della circonferenza circoscritta che parta da uno dei tre vertici del triangolo. Congiungiamo l’altro estremo del diametro con gli altri due vertici del triangolo.
Si formano così due triangoli rettangoli, permettendo così di ricavare gli elementi incogniti applicando le formule trigonometriche. Scopriamo così che:
- AB = AD ∙ sen BDA;
- AC = AD ∙ sen ADC
Oltre a questo notiamo che l’anglo γ e l’angolo BDA sono entrambi angoli alla circonferenza avendo come corda AB e perciò sono congruenti. La stessa cosa vale per l’angolo β e l’angolo ADC, essendo angoli alla circonferenza aventi corda AC. Le formule indicate sopra si possono riscrivere così:
- AB = AD ∙ sen γ;
- AC = AD ∙ sen β
Ma il lato AD è anche il diametro della circonferenza formata unendo il circocentro del triangolo con i suoi tre vertici ed è sempre uguale al doppio del raggio. Riscriviamo la formula e applichiamo il secondo principio di equivalenza:
- AB = 2R ∙ sen γ;
- AB / sen γ = 2R
- AC = 2R ∙ sen β
- AC / sen β = 2R
Se tracciassimo il diametro della circonferenza che parta da un altro vertice e rifacciamo le stesse considerazioni dimostreremmo anche che:
- BC = 2R ∙ sen α;
- BC / sen α = 2R
Abbiamo così dimostrato il teorema dei seni secondo cui il rapporto tra ciascun lato di un triangolo e il seno dell’angolo opposto è sempre costante ed equivale al diametro della circonferenza circoscritta. Possiamo usare questo teorema per risolvere i problemi dei triangoli.
