Circonferenza

Una circonferenza è l’insieme dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso che sta al centro di tutti loro. Si tratta di una vera e propria figura geometrica, una linea chiusa che divide il piano in tre regioni differenti e formati dai punti interni ad essa, dai suoi punti esterni e dai punti che la formano.

Il punto fisso che ha la stessa distanza dai punti di una circonferenza viene chiamata centro mentre la sua distanza dai vari punti viene definita raggio. Tutti i punti interni alla circonferenza hanno una distanza dal centro minore del raggio mentre tutti quelli esterni hanno una distanza maggiore. Tutti i segmenti che hanno per estremi un punto interno e un punto esterno a una circonferenza la intersecano, o la tagliano, in un unico punto. L’insieme dei punti della circonferenza e di tutti quelli che sono interni ad essa viene chiamato cerchio, definito anche come il luogo geometrico dei punti che hanno la distanza dal centro minore o uguale al raggio della circonferenza che lo delimita.

Alcuni elementi importanti di una circonferenza sono gli archi e le corde. Un arco è una parte di circonferenza delimitata da due punti: questi ne fanno parte e vengono chiamati estremi dell’arco. Dato che i due punti creano due archi, si inserisce un terzo punto su ciascun arco per dargli un nome formato dai tre punti: gli estremi e il punto interno.

La corda è il segmento che unisce due punti della circonferenza. Quando un arco e una corda hanno gli stessi estremi, si dice che la corda sottende, o tende sotto, l’arco o che l’arco è sotteso dalla corda. Tutte le corde che passano per il centro della circonferenza vengono chiamate diametro e la loro lunghezza è il doppio del raggio.

Proprietà e teoremi della circonferenza

E’ possibile disegnare una circonferenza conoscendo la posizione del centro e il suo raggio oppure conoscendo la posizione di tre dei suoi punti. Infatti, se proviamo a costruirne una partendo da tre punti casuali, scopriamo che è sempre possibile individuare il centro e la misura del raggio.

Dopo avere disegnato tre punti, uniamoli e costruiamo gli assi dei loro segmenti. I due assi si incontreranno in un solo punto. L’asse di un segmento è l’insieme dei punti del piano che hanno la stessa distanza dagli estremi di tale segmento. Dato che il punto di intersezione trovato fa parte di tutti e due gli assi, esso ha la stessa distanza per tutti e tre i punti trovati e rappresenta il centro che cerchiamo. La sua distanza con gli estremi è il raggio. Usando un compasso centrato nel punto di intersezione degli assi, possiamo costruire la circonferenza che passa per i tre punti.

Unendo gli estremi di una corda o di un arco con il centro del cerchio, otteniamo un angolo al centro. Dato che su una corda o su un arco può esserci un solo angolo al centro su corde o archi congruenti si formano angoli congruenti. Inoltre, se un arco è minore di un altro, anche il suo angolo al centro sarà minore dell’altro.

La parte di cerchio delimitata da un arco e dai raggi che passano sui suoi estremi, inclusi questi elementi, viene chiamato settore circolare. Il settore che ha come angolo al centro l’ampiezza di 180, avente i due raggi come lati dell’angolo, viene chiamato semicerchio mentre l’arco che lo delimita viene definito semicirconferenza.

Altri tipi di settori circolari sono quelli a una base, formata da un arco e dalla corda che lo sottende oppure a due basi, quando è formata da due corde parallele.

Il diametro di una circonferenza ha sempre una lunghezza maggiore di qualunque corda che non sia un diametro. Per dimostrarlo basta considerare un triangolo formato dal centro del cerchio con gli estremi di una corda. Ciascun lato di un triangolo è sempre minore della somma degli altri due; pertanto la corda è minore della somma dei due raggi.

Inoltre, se un diametro cade perpendicolarmente su una corda, la divide a metà perché è il suo asse, e divide a metà anche l’angolo al centro che passa per la corda e il suo arco. A parte queste considerazioni, si può dimostrare il seguente teorema se si tiene conto del fatto che il triangolo formato dal centro di una circonferenza con gli estremi di una corda è sempre isoscele avendo i lati obliqui congruenti dato che corrispondo al suo raggio. Di conseguenza, il diametro che cade sulla corda in modo da formare coppie di angoli di 90 gradi, è l’altezza del triangolo ma anche la sua mediana e forma due triangoli rettangoli congruenti per il secondo criterio.

Di conseguenza, vale anche il teorema inverso secondo cui se il diametro di una circonferenza passa per il punto medio di una corda, che sia un altro diametro, allora sono perpendicolari tra loro. Infatti, basta unire il centro del cerchio con gli estremi della corda per formare un nuovo triangolo isoscele e il segmento la parte di diametro che parte dal centro e finisce sulla corda, essendo mediana, è anche altezza del triangolo. Possiamo dedurre anche che l’asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza.

Un altro teorema riguardante le corde è che hanno la stessa distanza dal centro se sono congruenti. Anche in questo caso basta unire il centro con gli estremi delle due corde per dimostrare questo teorema: infatti costruiremo due triangoli isosceli congruenti per il terzo criterio, aventi tutti i lati della stessa misura, i due raggi e le corde congruenti. Anche le loro altezza saranno congruenti. Se due corde non sono congruenti, la corda che ha distanza minore dal centro ha lunghezza maggiore.

Esercizio

  • Dimostra che le corde con la stessa distanza dal centro sono congruenti.

Circonferenze e rette

Una retta può passare al massimo su due punti di una circonferenza: in questo caso si dice che hanno due punti in comune e viene chiamata la sua secante. Nel caso una retta abbia un solo punto in comune con la circonferenza viene chiamata tangente altrimenti viene definita esterna.

Una secante ha sempre la distanza dal centro del cerchio minore del raggio, una tangente ha la distanza dal centro uguale al raggio della circonferenza ed è perpendicolare ad esso mentre una retta esterna ha la distanza dal centro maggiore del raggio. Qualsiasi retta perpendicolare al raggio di un cerchio e passante per un punto della circonferenza è la sua tangente.

Anche due circonferenze diverse possono avere al massimo due punti in comune e vengono definite secanti. Nel caso abbiano un solo punto in comune possono essere tangenti esternamente se la circonferenza minore è esterna a quella maggiore, oppure tangenti internamente quando quella minore è dentro la maggiore. Se le due circonferenze non hanno punti in comune possono essere esterne oppure una interna all’altra; in quest’ultimo caso, se hanno lo stesso centro, vengono chiamate anche circonferenze concentriche e la figura formata dai punti del raggio maggiore che non appartengono alla circonferenza di raggio minore viene chiamata corona circolare.

Il concetto di secante e di tangente permette anche di identificare un altro tipo di angolo, l’angolo alla circonferenza, avente il vertice su uno dei punti della circonferenza e i lati entrambi secanti o uno secante e l’altro tangente ad essa.

Un angolo al centro è sempre uguale al doppio di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. Possiamo dimostrarlo unendo i vertici dell’angolo alla circonferenza con il centro del cerchio, ottenendo due triangoli isosceli avendo i lati obliqui uguali al raggio; anche gli angoli alla base, formati dai raggi con i lati dell’angolo sono congruenti.

Se prolunghiamo il raggio che passa dal vertice fino all’altro punto della circonferenza possiamo ricavare l’ampiezza degli angoli esterni ai due triangoli. Ciascun angolo esterno è uguale alla somma degli due angoli interni al triangolo non adiacenti ad esso. Dato che ogni angolo esterno è uguale alla somma del doppio di una parte dell’angolo alla circonferenza, l’angolo al centro, che è dato dalla somma dei due angoli esterni, è uguale al doppio di quello alla circonferenza.

Su Geogebra, programma online per lo studio della geometria, si può vedere un esempio su questo argomento. E’ possibile spostare gli estremi dell’arco o del vertice per vedere che il seguente teorema è sempre valido. Si possono fare tutte le modifiche che si vogliono come cancellare alcuni elementi e crearne altri e spostare i valori letterali e numerici in altre posizioni per comodità. Cosa succede se il centro del cerchio si trova su uno dei lati dell’angolo alla circonferenza? E se fosse esterno ad essa, il teorema è sempre valido?

Poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza

Quando un poligono ha tutti i vertici in comune con alcuni punti di una circonferenza si dice che è inscritto in essa. Questo accade soltanto se gli assi di tutti i suoi lati si incontrano in uno stesso punto, il quale corrisponde al centro del cerchio. Quando tutti i lati di un poligono sono tangenti ad una circonferenza, si dice che è circoscritto in essa: in questo caso le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in uno stesso punto

Questo vale sempre per i triangoli, perché gli assi dei loro lati e anche le bisettrici dei loro angoli si incontrano sempre in uno stesso punto al loro interno. Il punto di intersezione degli assi viene chiamato circocentro mentre quello di intersezione delle bisettrici viene chiamato incentro.

I quadrilateri possono essere inscritti in una circonferenza soltanto se la somma degli angoli opposti equivale a un angolo piatto. Possiamo dimostrare questo teorema tenendo conto che gli angoli opposti di un quadrilatero sono anche gli angoli alla circonferenza in cui si trova inscritto. I due angoli sono uguali rispettivamente alla metà di ciascun angolo al centro corrispondente, la cui somma fa 360 gradi. Pertanto, la somma dei due angoli opposti deve essere uguale alla metà della somma degli angoli al centro, quindi un angolo di 180 gradi.

L'immagine mostra i requisiti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza
La somma del doppio degli angoli opposti alla circonferenza fa 360 gradi; la somma degli angoli opposti è uguale alla metà di un angolo giro.

Anche i poligoni regolari, che hanno tutti i lati congruenti e gli angoli della stessa ampiezza, sono sempre inscrivibili e circoscrivibili in una circonferenza. Questo perché gli angoli al centro saranno tutti della stessa ampiezza come anche gli angoli del poligono; inoltre gli assi e le bisettrici si incontreranno sempre in un punto all’interno del poligono dividendo i lati e gli angoli in parti congruenti. Il centro del poligono regolare avrà la stessa distanza dai vertici e dal centro dei lati: la prima distanza è il raggio della circonferenza circoscritta mentre la seconda distanza viene chiamata apotema e coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono regolare.