La formula risolutiva è il metodo usato per risolvere le equazioni di secondo grado complete e ridotte in forma normale, cioè che si presentano nella forma ax2 + bx + c = 0. Quindi sono presenti al primo membro un’incognita di secondo grado, espressa come potenza al quadrato, un’incognita di primo grado e un termine noto. Il risultato della loro somma è sempre uguale a 0.
Questo significa che quando dobbiamo risolvere un’equazione di secondo grado complessa, dobbiamo applicare tutte le formule che conosciamo per semplificarla e ridurla in forma normale. Soltanto a quel punto possiamo applicare la formula risolutiva e trovare le soluzioni che rendono vera l’equazione.
Nel caso di equazioni letterali, fratte oppure equazioni che contengono sia lettere che frazioni, dobbiamo prima di tutto stabilire le condizioni necessarie affinché l’equazione sia vera. Si inizia analizzando i denominatori e stabilendo per quali valori dell’incognita l’equazione è impossibile; poi, si riduce l’equazione in forma normale e, in caso di lettere tra i coefficienti, si analizzano anche i parametri, come mostra l’articolo indicato in questo paragrafo.
Fatto ciò, possiamo applicare la formula risolutiva e ricavare tutte le soluzioni possibili che rendano vera l’equazione di secondo grado.
Formula risolutiva e discriminante
Nel caso di un’equazione di secondo grado completa, possiamo ricavare la formula per trovare i valori dell’incognita applicando le regole precedenti, il quadrato del binomio e la somma delle frazioni. Dobbiamo anche ricordare che il risultato dell’espressione a sinistra deve essere uguale a quella di destra.
Iniziamo con ridurre il coefficiente dell’incognita di secondo grado a 1, applicando il secondo principio di equivalenza:
Il secondo passaggio consiste nel rendere il primo e il secondo membro dei quadrati equivalenti. Per fare ciò, bisogna procedere in maniera inversa alla scomposizione dei polinomi. Tramutiamo il termine di primo grado come il doppio prodotto di un quadrato di binomio e consideriamo il suo coefficiente come il secondo monomio di questo quadrato. Per il primo principio di equivalenza il nuovo termine va aggiunto anche al secondo membro, affinché l’equazione abbia lo stesso risultato della prima.
Infine, ricaviamo la formula risolutiva applicando:
- La radice di potenze;
- Il primo principio di equivalenza;
- La somma di frazioni che hanno lo stesso denominatore
L’espressione b2– 4ac viene chiamato discriminante e viene indicato con il simbolo Δ perché dal suo risultato dipende la soluzione dell’equazione di secondo grado. Se risulta uguale a 0, l’incognita sarà uguale all’opposto del rapporto tra il coefficiente dell’incognita di primo grado con il doppio del primo coefficiente.
Se il determinante è minore di 0, il radicale è impossibile da risolvere dato che qualsiasi numero elevato al quadrato è sempre positivo. Se, invece, è maggiore di 0, si applica la formula risolutiva nella sua interezza.
