La spezzata

La spezzata

Una spezzata è un insieme di segmenti consecutivi, con almeno un estremo in comune, e disposti in modo tale da poggiare su rette diverse. Può essere aperta o chiusa sia intrecciata che non intrecciata.

La spezzata aperta è l’insieme di segmenti che non hanno tutti gli estremi in comune, mentre quella chiusa forma una poligonale, i lati di una figura geometrica piana. Entrambi i tipi di spezzate possono essere anche intrecciate: in questo caso, alcuni segmenti possono incontrarsi e intersecarsi in qualche punto che avranno in comune.

spezzata, poligonale e poligono convesso

Il numero dei lati della poligonale caratterizza il nome di queste figure, dette poligoni. I poligoni possono essere chiamati:

  • Triangoli, se hanno tre lati;
  • Quadrilateri, se sono formati da quattro lati;
  • Pentagoni, se hanno cinque lati;
  • Esagoni, ettagoni, ottagoni, e così via a seconda del numero dei lati della poligonale che li delimita.

Risoluzione di una spezzata piana

Capita di avere a che fare con le spezzate quando si fano dei rilievi topografici, soprattutto quando è necessario calcolare la distanza tra due punti che non sono visibili tra loro, magari perché nel mezzo ci sono uno o più fabbricati. In questo caso, si calcola la distanza di vari punti che arrivano a quello interessato; successivamente si procede al calcolo definitivo per trovare la distanza tra quei punti.

Per calcolare la distanza tra due punti ci si avvale di due sistemi di coordinate: il primo è quello cartesiano, formato da due assi perpendicolari tra loro: uno orizzontale e uno verticale. Il punto di incontro tra questi due assi viene chiamato origine, e ha come coordinate 0, sia per l’asse orizzontale che per quello verticale. Le coordinate dei vari punti che si rilevano vengono calcolati tenendo conto dalla loro distanza dall’origine. Si possono usare più di un sistema di riferimento per semplificare i calcoli, come mostrato in figura.

Vedi anche: Distanza tra due punti

distanza tra due punti, sistemi cartesiani, teorema di Pitagora
Sistema cartesiano principale e parziale.

Ma per risolvere i problemi relativi le spezzate, è necessario usare anche il sistema di coordinate polari: per il primo punto viene fatto passare un asse verticale e si determina la distanza del secondo punto rispetto al primo come anche l’angolo di direzione, detto azimut, formato dalla semiretta verticale che passa dal primo punto, che diventa l’origine, e dalla distanza tra i due punti che funziona come seconda semiretta. Si forma così un triangolo rettangolo, che permette di ricavare le coordinate del secondo punto in relazione con il primo.

distanza tra due punti tramite le funzioni goniometriche

E’ chiaro, quindi, che è necessario conoscere le coordinate del primo punto di una spezzata, come anche le distanze tra i vari punti dei segmenti che la formano e i loro angoli di direzione. In questo modo è possibile ricavare le coordinate di ciascun vertice fino ad arrivare a quello finale. Infine, si può procedere al calcolo delle coordinate totali rispetta al sistema cartesiano principale.

Gli elementi necessari per fare i calcoli si possono ricavare semplicemente grazie a uno strumento per il rilievo topografico. Ricaviamo le coordinate del primo punto, spesso un punto che era stato stabilito in passato e di cui sono note le coordinate, le distanze tra i vari punti e l’ampiezza di ciascun angolo al vertice, l’angolo formato dalla rotazione di ciascun lato fino a sovrapporsi con quello seguente.

Vedi anche: L’angolo orientato

Innanzitutto si procede con il calcolo degli azimut di ciascun lato applicando la legge di propagazione degli azimut, secondo cui l’azimut di un lato è uguale alla somma tra quello del lato precedente con l’angolo al vertice dei due lati che toccano il punto interessato più o meno l’angolo piatto a seconda che la somma dei primi due angoli sia maggiore o minore di 180°.

Quando si lavora in topografia, è comune usare il sistema centesimale per la misura degli angoli che è molto più comodo. Un angolo piatto misura 200c, un angolo retto è la sua metà, 100c e un angolo acuto è 50c.

Nel caso che, applicando la regola sopra, si ottenga un angolo superiore a 360°, o 400c, bisogna fare la differenza tra il risultato ottenuto e l’angolo giro.

calcolo spezzata piana

Trovati tutti gli azimut, si procede al calcolo delle coordinate parziali di ciascun punto. Riassumendo ciò che è stato spiegato nell’articolo riguardanti il sistema polare, indicato sopra, il valore dell’ascissa parziale di ciascun punto è uguale al prodotto tra la sua distanza dal punto successivo e il seno dell’azimut mentre il valore dell’ordinata è uguale al prodotto di tale distanza per il coseno dell’azimut. In base all’immagine sopra abbiamo:

  • (xB)A = AB ∙ sen (AB); (yB)A = AB ∙ cos (AB).
  • (xC)B = BC ∙ sen (BC); (yC)B = BC ∙ cos (BC).
  • (xD)C = CD ∙ sen (CD); (yD)C = CD ∙ cos (CD).
  • (xE)D = DE ∙ sen (DE); (yE)D = DE ∙ cos (DE).

A questo punto, si può procedere con il calcolo delle coordinate totali, partendo dal punto di riferimento:

  • XB = XA +(xB)A; YB = YA +(yB)A;
  • XC = XB +(xC)B; YC = YB +(yC)B;
  • XD = XC +(xD)C; YD = YC +(yD)C;
  • XE = XD +(xE)D; YE = YD +(yE)D;

Infine, possiamo congiungere i due estremi della spezzata e calcolare i valori dell’azimut e la loro distanza:

  • (AE) = arctg [(xE)A / (yE)A]
  • (EA) = (AE) + 200c
  • AE = (xE)A / sen (AE) = (yE)A/ cos (AE)
calcolo estremi spezzata
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