Trasformare un numero periodico in frazione

Trasformare un numero periodico in frazione

Per trasformare un numero periodico in una frazione basta inserire al numeratore la differenza tra tutto il numero decimale senza la virgola e il numero formato dalle cifre non periodiche; per il denominatore bisogna contare quante sono le cifre non periodiche e scrivere altrettanti 9 e poi bisogna contare quante sono le cifre decimali non periodiche e scrivere altrettanti 0. Nei prossimi paragrafi viene spiegato e dimostrato questo metodo.

Un numero periodico è un numero decimale, cioè che contiene una parte decimale che segue la parte intera dopo la virgola, che ha una o un gruppo di cifre che si ripete all’infinito, per sempre. Questo gruppo di cifre viene chiamato periodo mentre le cifre decimali che appaiono soltanto una volta costituiscono l’antiperiodo.

La frazione è invece una divisione tra due numeri scritti uno sopra l’altro e divisi da una linea retta: il dividendo viene scritto sopra e viene chiamato numeratore mentre il divisore viene scritto sotto e viene chiamato denominatore. La frazione in cui il rapporto tra numeratore e denominatore dà il numero decimale periodico interessato viene chiamata frazione generatrice.

Vediamo adesso un esempio che ci dimostra come convertire un numero periodico in frazione. Proviamo a trasformare 1,27365 (le cifre in grassetto rappresentano la parte periodica). Scriviamo un’equazione e stabiliamo che la lettera a è uguale al numero periodico interessato.

a = 1,27365

Innanzitutto spostiamo la virgola del numero decimale alla fine dell’antiperiodo. In questo caso, dobbiamo moltiplicarlo per 100 e facciamo la stessa cosa per a, scrivendolo sottoforma di potenza del 10.

102a =  127,365

Spostiamo la virgola del numero decimale alla fine del primo gruppo di cifre periodiche. Per farlo bisogna moltiplicarlo per 1000 e facciamo la stessa cosa con la lettera a.

103 ∙ 102a = 127365,365

Troviamo adesso la differenza tra l’ultimo risultato ottenuto e il primo.

103 ∙ 102a102a = 127365,365 127,365

Nella parte numerica dell’equazione possiamo applicare la proprietà invariantiva della sottrazione togliendo ad entrambi i numeri periodici la parte decimale.

103 ∙ 102a102a = 127365 127

Nella parte algebrica dell’equazione applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione ed estrapoliamo 102a.

(1031) ∙ 102a = 127365 127

Risolviamo prima la parte algebrica e ricaviamo la formula per trasformare questo numero periodico in frazione

(10001) ∙ 102a = 127365 127

999 ∙ 100a = 127365 127

99900a = 127365 127

Applicando il secondo principio di equivalenza è facile ricavare la frazione generatrice di questo numero periodico. Possiamo notare che al numeratore c’è davvero la differenza tra il numero senza virgola e la sua parte periodica considerata come intero al numeratore e al denominatore ci sono tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 9 quante le cifre dell’antiperiodo. Dopo avere risolto la differenza al numeratore basterà fare una semplificazione.

Numero periodico in frazione: formula

Prova adesso a trasformare i seguenti numeri periodici in frazioni tenendo presente che se non ci sono cifre non periodiche non si aggiungono zeri: 0,6; 1,6; 0,1; 0,5; 0,083; 0,5; 0,3; 0,45679; 46,245.