I prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono i risultati di moltiplicazioni particolari tra polinomi dove è possibile saltare i diversi passaggi grazie all’applicazione di alcune regole. In questo modo si è in grado di scrivere il risultato in maniera immediata.

I polinomi sono delle somme algebriche tra due o più monomi, chiamati termini del polinomio e composti dal prodotto tra numeri e lettere. In queste somme possono anche esserci numeri senza lettere che vengono chiamati termini noti.

La moltiplicazione tra due polinomi avviene facendo la somma dei prodotti ottenuti tra ciascun termine del primo polinomio con tutti i termini del secondo polinomio. Un esempio è quello riportato sotto.

(2x + 3y) (4x – 2) = 8x2 – 4x + 12xy – 6y

Tuttavia, esistono moltiplicazioni particolari che non hanno bisogno di tanti passaggi per essere risolti. Per questo motivo, vengono chiamati prodotti notevoli.

Quali sono i prodotti notevoli dei polinomi

I prodotti notevoli riguardano principalmente binomi e trinomi, cioè polinomi composti dalla somma algebrica di due o tre termini. Applicando le regole che seguono è possibile scrivere subito il risultato di queste moltiplicazioni.

Quadrato e cubo di un binomio

Il quadrato di un binomio è il prodotto della somma o della differenza di due termini con se stesso. Si ottiene dalla somma tra i quadrati dei due monomi e dal loro doppio prodotto oppure sommando i due quadrati dei monomi e togliendogli il doppio prodotto se c’è una differenza nel binomio.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

La stessa cosa avviene per il cubo di un binomio che si ottiene in due modi diversi:

  • Se il binomio è composto dalla somma di due termini si eleva al cubo facendo la somma tra i cubi dei due termini, il triplo prodotto del quadrato del primo termine con il secondo e il triplo prodotto del primo termine con il quadrato del secondo: (A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3
  • Se c’è una differenza tra i termini del binomio, la sua potenza al cubo è uguale al cubo del primo termine meno il prodotto tra il quadrato del primo con il secondo più il triplo prodotto tra il primo termine con il quadrato del secondo meno il cubo del secondo termine: (A – B)3 = A3 – A2B – 3AB2 – B3

Altri prodotti notevoli

Un altro prodotto notevole è dato dalla moltiplicazione tra la somma di due termini per la loro differenza. In questo caso il risultato è immediato: basta fare la differenza tra il quadrato del primo termine con il secondo monomio.

(A + B)(A – B) = A2 – B2

Infine, abbiamo il quadrato di un trinomio, un polinomio composto da tre termini. Nel caso in cui tra i termini c’è sempre il segno dell’addizione, il quadrato del trinomio si ottiene facendo la somma tra i quadrati dei tre termini e i doppi prodotti che si ottengono tra loro. Se nel trinomio appare anche il segno della sottrazione si procede allo stesso modo ma bisogna tenere conto della regola dei segni quando si ottengono i doppi prodotti.

(A + B + C)2 = A2 + B+ C2 + 2AB + 2AC + 2BC  

(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2AC + 2BC  

(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2…. 

(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2….