Sistemi di equazioni a tre incognite

I sistemi di equazioni a tre incognite sono un insieme di tre equazioni poste l’uno sopra l’altro aventi ciascuno tre diverse incognite il cui scopo è ricavare quell’insieme di valori che rendono vere tutte e tre le equazioni contemporaneamente.

Un’equazione è un’uguaglianza scritta tra due espressioni letterali il cui scopo è ricavare il valore o i valori delle lettere incognite al suo interno. Quando l’incognita è una sola, il valore è unico mentre quando ci sono più incognite, diversi valori rendono vera quell’equazione. Le equazioni si distinguono in base all’esponente della potenza dell’incognita. Per risolvere le equazioni ci si avvale dei principi di equivalenza che permettono di ricavare equazioni più semplici che hanno la medesima soluzione. Per saperne di più leggi gli articoli: Le equazioni e I principi di equivalenza.

Un sistema raggruppa due, tre o più equazioni all’interno di una parentesi graffa a indicare che sono collegate tra loro e bisogna calcolare soltanto quei valori delle incognite che rendono vere tutte le equazioni contemporaneamente. Per semplicità, in questo articolo ci soffermeremo sulla risoluzione dei sistemi lineari a tre incognite.

Come si risolvono i sistemi a tre incognite

I metodi usati nella risoluzione dei sistemi di equazioni lineari a tre incognite sono le stesse per quanto riguarda le altre. Di seguito viene fatto un riassunto:

• Il metodo di sostituzione consiste nel ricavare in un’equazione una delle incognite e sostituire la formula al posto della stessa incognita in una delle altre e procedere con le operazioni algebriche e i principi di equivalenza. Si ripete lo stesso passaggio fino a quando non viene risolto il sistema.
• Il metodo del confronto consiste nel ricavare la stessa incognita in due equazioni e uguagliare le due espressioni trovate. Si ricava in maniera molto semplice il valore dell’altra incognita e la si usa per ricavare la prima.
• Il metodo di riduzione consiste nel trasformare le equazioni, applicando il secondo principio di equivalenza, in modo da avere una delle incognite la cui somma dei coefficienti è uguale a 0, in modo da annullarla. Si ricava il valore dell’altra incognita e la si usa per risolvere il sistema.
• La regola di Cramer si basa sulle formule per ricavare i determinanti del sistema e delle incognite e deriva dal principio di riduzione. Per la dimostrazione di questo metodo è stato realizzato una pubblicazione di alcune pagine.

Per risolvere un sistema a tre incognite potrebbe bastare utilizzare il metodo di sostituzione più volte oppure si possono combinare più metodi. In ogni caso la soluzione del sistema sarà sempre lo stesso.

Esercizi e dimostrazione

Vediamo un esempio di sistema a tre incognite. Iniziamo con il ricavare la formula di una delle tre incognite nella prima equazione e la usiamo per creare un sistema lineare con due incognite utilizzando le altre due equazioni.

Risolviamo il secondo sistema triplicando la prima equazione in modo da potere annullare la seconda incognita mediante il metodo di riduzione.