Il triangolo rettangolo isoscele

Il triangolo rettangolo isoscele è un poligono formato da tre lati di cui due, chiamati cateti, sono uguali e formano tra loro un angolo retto, di 90 gradi. Questo triangolo ha sia le caratteristiche dei triangoli rettangoli che di quelli isosceli avendo anche gli angoli alla base, adiacenti all’ipotenusa, uguali e ampi 45 gradi.

Un triangolo si dice rettangolo quando tra i suoi angoli ce n’è sempre uno di 90°. I lati che formano questo angolo vengono definiti cateti mentre il lato che unisce gli estremi dei due cateti viene chiamato ipotenusa. I triangoli isosceli hanno due lati, definiti obliqui, sempre uguali e il terzo lato viene chiamato base.

Caratteristiche del triangolo rettangolo isoscele

Dalle immagini si può capire che cos’è un triangolo rettangolo isoscele. Dalla figura a destra notiamo che l’ipotenusa rappresenta la base di questo triangolo mentre i cateti sarebbero i lati obliqui.

Gli angoli alla base sono sempre di 45° a motivo della seguente dimostrazione:

• La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°
• La somma degli angoli alla base è data dalla differenza tra la somma degli angoli interni e l’angolo retto:
  • β + γ = 180° – 90°= 90°
• Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre congruenti, uguali, pertanto ciascun angolo adiacente l’ipotenusa è meta della sua somma con l’altro:
  • β = γ = (β + γ)/2
    • β = 90° /2 = 45°
    • γ = 90° /2 = 45°

La squadretta usata a scuola, precisamente quella che 45 gradi di angolo, è un triangolo rettangolo isoscele.

Formule

Guardano la prima figura, possiamo notare che un triangolo rettangolo isoscele è la meta di un quadrato formato dalle parallele di ciascun cateto sull’estremo dell’altro. I cateti, infatti, hanno la stessa lunghezza e rappresentano il lato del quadrato.

E’ possibile ricavare le formule di questo triangolo sia applicando il teorema di Pitagora che usando le formule trigonometriche le quali sono più immediate.

Per ricavare l’ipotenusa, che rappresenta anche la diagonale del quadrato, chiamando i cateti con il simbolo l, la formula è:

• i = √(l²+l²) = √(2l²) = √2 ∙ l
• i = l ∙ √2

Applicando il secondo principio di equivalenza, otteniamo anche la formula per ricavare i cateti conoscendo l’ipotenusa:

• i = l ∙ √2
• l = i / √2

Queste sono anche le formule per ricavare la diagonale di un quadrato oppure la lunghezza del suo lato. Un’altra formula è relativa alle funzioni goniometriche, di cui si parla in questo articolo, e consiste nel moltiplicare l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto ai cateti per ricavare la loro lunghezza, oppure nel rapporto tra loro e il seno dell’angolo opposto per calcolare la lunghezza dell’ipotenusa.

• l = i ∙ sen 45°
• i = l / sen 45°

Si può ricavare il seno dell’angolo di 45° usando una calcolatrice scientifica premendo il tasto sin prima o dopo avere digitato il numero, a seconda del modello.

Per quanto riguarda il calcolo dell’area di un triangolo rettangolo isoscele, il procedimento è sempre lo stesso: basta fare il semiprodotto dei due cateti, essendo la metà dell’area del quadrato:

• A = l² /2

Un altro modo per ricavare l’area di questo triangolo è fare il semi prodotto tra l’ipotenusa e l’altezza relativa il suo lato. Questo però significherebbe dovere ricavare l’altezza usando sempre le formule goniometriche.

In realtà è facile ricavare la lunghezza relativa l’ipotenusa. Infatti, questo segmento è anche bisettrice e mediana dell’ipotenusa, un’altra proprietà dei triangoli isosceli. Si formano così altri due triangoli rettangoli aventi gli altri due angoli di 45°:

• Gli angoli B’A’H e A’C’H sono congruenti e sono la metà dell’angolo di 90° essendo A’H la bisettrice di questo angolo
• Pertanto l’altezza relativa l’ipotenusa è metà della sua lunghezza essendo B’H il secondo cateto del triangolo A’B’H

Da quanto detto, possiamo ricavare la seconda formula dell’area conoscendo soltanto l’ipotenusa:

• A = (i ∙ h) / 2 =
  • (i ∙ i/2) /2 =
  • (i² /2) /2 =
  • i² / 4
• A = i² / 4

Vedi anche: La moltiplicazione tra frazioni

Prova tu: sapendo che l’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 9 cm ricava l’area del triangolo usando entrambi i metodi descritti sopra.

Riassumendo, il triangolo rettangolo isoscele ha le seguenti caratteristiche:

• I lati obliqui congruenti, che rappresentano anche i cateti;
• Gli angoli alla base, che sono anche adiacenti l’ipotenusa, di 45°;
• L’altezza relativa l’ipotenusa uguale alla sua metà.