Sistemi fratti

Sistemi fratti

I sistemi fratti sono un insieme di equazioni, cioè uguaglianze tra due espressioni matematiche o algebriche, dove le lettera incognita che rappresenta la variabile da ricavarne il valore che rappresenta compare al denominatore di una o più frazioni. Se, oltre alle incognite, ci sono altre lettere in una o più termini, questi sistemi vengono chiamati anche letterali.

Un equazione presa singolarmente viene espressa mettendo a confronto due espressioni algebriche o matematiche. Ciascuna espressione viene chiamata membro dell’equazione e almeno una di loro deve avere un termine rappresentato da una lettera e chiamato incognita, perché lo scopo di risolvere le equazioni è trovare uno o più numeri che rendono vera l’equazione. Ad esempio: x + 2 = 5.

Per risolvere le equazioni ci si avvale di alcune regole. Nell’esempio riportato sopra, si isola la lettera incognita trasportando il termine noto, qualunque numero che non è legato da una lettera, dall’altro membro dell’equazione. Quando un termine dell’equazione passa da un membro all’altro, cambia di segno e si somma con gli altri termini simili. Quando ci sono due o più incognite, bisogna ricavare l’insieme dei valori delle variabili che rendono vera l’uguaglianza tra le due espressioni.

Come si risolvono i sistemi fratti

Il modo per risolvere questo tipo di sistema si basa sulla risoluzione delle equazioni fratte, sia letterali che senza parametri. Quando in un’equazione l’incognita si trova al denominatore di una frazione, ci sono casi in cui l’equazione non può essere verificata. Una frazione è un modo diverso di esprimere le divisioni ed è utile per semplificare le espressioni matematiche, algebriche o per esprimere in modo diverso i numeri decimali. Il numeratore rappresenta il dividendo mentre il denominatore il divisore.

Se il divisore è uguale a 0, la divisione è impossibile perché qualunque numero moltiplicato per 0 dà sempre 0. Se sia il dividendo che il divisore sono uguali a 0, la divisione è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per 0 è uguale a 0.

5:0 ; 30 : 0 ; 500:0 sono impossibili

0:0 è indeterminato perché le soluzioni sono infinite

Esempio e dimostrazione

Sotto viene riportato un esempio di esercizio su un sistema fratto. Si può notare che dopo avere stabilito le condizioni di esistenza (C.E.) per il quale il sistema sarebbe impossibile, si procede con la riduzione in forma normale in modo da avere un solo termine per ciascuna incognita e un solo termine noto per ogni equazione. Si fa questo semplificando le frazioni e applicando i principi di equivalenza.

L'illustrazione mostra come si risolvono i sistemi fratti.

Come mostrato sopra viene stabilita la condizione di esistenza per quel sistema e si procede moltiplicando ciascun membro della prima equazione con l’espressione che appare al denominatore della frazione. In questo modo, rimangono soltanto numeri interi. Si ricava la formula per calcolare il valore di una delle due incognite e la si riporta al posto dell’altra incognita nella seconda equazione del sistema. Dopo avere seguito le normali regole delle equazioni si è ricavato il valore vero della prima incognita e la si usa per calcolare il valore della seconda.

Alla fine, si è proceduto come nel caso dei sistemi lineari. E’ possibile applicare qualsiasi metodo per risolvere un sistema: di sostituzione, di confronto, di riduzione e di Cramer. Quest’ultimo è particolarmente indicato quando si ha a che fare con sistemi fratti letterali oppure con quelli in cui ci sono tre o più incognite.

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