La scomposizione di polinomi consiste nel riscrivere un polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore allo scopo di semplificare le operazioni algebriche da eseguire nelle espressioni. E’ possibile scomporre un polinomio raccogliendo i fattori comuni dei suoi termini, applicando al contrario le regole dei prodotti notevoli oppure tramite il metodo di Ruffini.
I polinomi sono delle espressioni che consistono nella somma di prodotti tra numeri e lettere come 4x3 + 2x -1 oppure a – 2b. Possono, quindi, esserci anche lettere sole o numeri soli.
Proprio come i numeri, anche i polinomi possono o non possono essere divisibili per altri polinomi. Quelli di primo grado non possono essere scomposti e quindi sono detti irriducibili. Tra i polinomi di grado superiore al primo ci sono quelli che sono divisibili per altri e pertanto vengono chiamati riducibili. Lo scopo della scomposizione di polinomi è quello di ricavare i polinomi irriducibili.
Il raccoglimento dei fattori comuni dei polinomi
Il raccoglimento dei fattori comuni è il primo metodo per scomporre un polinomio. Può essere totale o parziale.
Il raccoglimento totale si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto sia all’addizione che alla sottrazione. In questo caso procediamo in modo inverso: troviamo i fattori comuni in tutti i termini del polinomio e li separiamo. Dividiamo poi i termini di quel polinomio per il fattore comune e riscriviamo tutto sotto forma di prodotto
A ∙ B + A ∙ C = A (B + C)
10x2 + 5x = 5x (2x + 1)
a (x + 1) + b (x + 1) = (x + 1) (a + b)
Nel secondo caso, un’intera somma algebrica è un fattore comune ai due termini perché x + 1 è uguale in entrambi i casi.
Il raccoglimento parziale avviene in più passaggi e diventa necessario farlo quando non è possibile raccogliere subito i fattori da tutti i termini del polinomio. Un esempio è:
2ax + 2bx + 3ay + 3by =
2x (a+ b) + 3y (a + b) =
(2x + 3y) (a + b)
Scomposizione di polinomi e prodotti notevoli
Quando un polinomio è il risultato di uno dei prodotti notevoli è possibile scomporlo facendo la regola inversa di quello specifico prodotto.
Se un polinomio è formato dalla somma tra i quadrati di due termini e del loro doppio prodotto si tratta di quadrato di un binomio.
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
Se abbiamo a che fare con un binomio composto dalla differenza tra i quadrati di due termini allora si tratta del prodotto della somma per la differenza di due monomi.
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
Quando un polinomio è formato dalla somma tra i quadrati di tre termini e dei doppi prodotti tra ciascuno di loro con gli altri due, possiamo semplificarlo nel quadrato di trinomio.
A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC = (A + B + C)2
Se un polinomio è formato dalla somma delle potenze al cubo di due termini, del triplo prodotto tra il quadrato del primo per il secondo e del triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, possiamo ridurlo al cubo di un binomio.
A3+ 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
Ricordiamo che in tutti questi casi è irrilevante l’ordine in cui sono scritti i termini a motivo della proprietà commutativa dell’addizione.
Trinomio speciale
Un altro caso di scomposizione di polinomi riguarda il trinomio speciale o particolare. Lo si riconosce dal fatto che il coefficiente dell’incognita di primo grado è formato dalla somma di due termini il cui prodotto è proprio il termine noto, il numero senza lettere, di quel polinomio.
Ad esempio x2 + 7x + 12 è un trinomio speciale perché il coefficiente di x è uguale alla somma di 4 e 3 mentre il termine noto 12 è uguale al loro prodotto. Questo significa che possiamo scomporli nel seguente modo:
x2 + 7x + 12 =
x2 + 4x + 3x + 4 ∙ 3 =
A questo punto possiamo procedere con un raccoglimento parziale: i fattori comuni sono colorati di verde e di grigio. Infine si procede con un raccoglimento totale.
x2 + 4x + 3x + 4 ∙ 3 =
x (x+ 4) + 3(x + 4) =
(x + 3) (x + 4)
Il metodo di Ruffini
Un altro modo per scomporre un polinomio è il metodo di Ruffini. Consiste nel trovare il divisore di quel polinomio ricavando il termine noto il cui opposto dà come resto della divisione 0. A quel punto si fa la divisione tramite la regola di Ruffini e abbiamo trovato i due fattori con cui scomporre il polinomio.
Il metodo di Ruffini si basa sul fatto che quando un polinomio è divisibile per un binomio del tipo x – a, sostituendo la sua incognita con l’opposto del termine noto del divisore il prodotto tra il divisore e il quoziente viene annullato e rimane soltanto il resto. Nel caso che il resto fosse 0, quel polinomio sarebbe interamente divisibile per x – a e quindi scomponibile in fattori.
Se vogliamo scomporre x2 + 7x + 12 dobbiamo cercare tra i divisori del termine noto del polinomio il numero che lo annulla.
P(-1) = 1 – 7 + 12 = 6
P(-2) = 4 – 14 + 12 = 2
P(-3) = 9 – 21 + 12 = 0
Il numero -3 annulla il polinomio, e di conseguenza, anche il resto della sua divisione con x + 3. A questo punto si divide x2 + 7x + 12 per x + 3 tramite la regola di Ruffini.
Può capitare che il quoziente trovato sia ancora divisibile. A quel punto si possono applicare i metodi visti sopra. Nell’esempio che abbiamo considerato i fattori del polinomio sono tutti binomi di primo grado, pertanto la scomposizione di questo polinomio è finita.
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
Un trinomio di secondo grado può essere scomposto nel prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado con la differenza tra l’incognita di primo grado con la prima soluzione e la differenza tra l’incognita di primo grado con la seconda soluzione.
Se abbiamo l’equazione:
ax2 + bx + c = 0
Il risultato finale sarà:
a(x – x1)(x – x2) = 0
Il primo passaggio per la scomposizione di un trinomio di secondo grado consiste nell’isolare il coefficiente del termine di secondo grado, creando un’equazione equivalente alla prima e poi sostituire al coefficiente del termine di secondo grado e al termine noto la somma e il prodotto delle soluzioni.
Il passaggio successivo consiste nel raggruppare parzialmente i fattori comuni fino ad ottenere il prodotto semplificato.
Negli esercizi di algebra, dopo avere trovato le soluzioni di un’equazione di secondo grado tramite la formula risolutiva può venire richiesto di scomporre il trinomio in fattori come passaggio finale.
